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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 72

Se g for uma função duas vezes derivável e f x = x   g ( x 2 ) , encontre f ' ' em termos de g , g ' e g ' ' .

Passo 1

O enunciado nos deu uma função f que é o produto de x por g ( x 2 ) e pede para encontrarmos sua segunda derivada. Devemos então achar a primeira derivada e derivá-la novamente!!!

Usaremos tanto a regra do produto como a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos achar a primeira derivada de f usando a regra do produto:

f ' x = 1 ⋅ g x 2 + x ⋅ ( g x 2 ) '

Usamos agora regra da cadeia: g x 2 ' = g ' x 2 ⋅ 2 x . Assim, temos que

f ' x = g x 2 + 2 x 2   g ' ( x 2 )

Passo 3

Agora vamos derivar f ' para encontrar f ' ' . Pela regra do produto:

f ' ' x = g x 2 ' + 4 x ⋅ g ' x 2 + 2 x 2 ⋅ ( g ' x 2 ) '

Da regra da cadeia temos que g x 2 ' = g ' x 2 ⋅ 2 x e g ' x 2 ' = g ' ' x 2 ⋅ 2 x . Assim,

f ' ' x = 2 x   g ' x 2 + 4 x   g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

f ' ' x = 6 x   g ' x 2 + 4 x 3   g ' ' ( x 2 )

Resposta

f ' ' x = 6 x   g ' x 2 + 4 x 3   g ' ' ( x 2 )

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