Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 37
- Se for uma função polinomial e , , e forem nulos, prove que existem pelo menos dois números no intervalo aberto que sejam raízes da equação .
- Mostre que a função definida pela equação satisfaz a) para o intervalo aberto .
Passo 1
Como, por hipótese, é polinomial, então elaé de classe , ou seja, a função é derivável vezes. Em particular, é duas vezes derivável no intervalo .
Passo 2
Observe que, por hipótese, . Então, pelo teorema de Rolle, existe tal que .
Passo 3
Assim, do passo anterior e da hipótese, temos que Logo satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle. Assim existe tal que . E como , temos que existe tal que
Portanto, existem, pelos menos tais que , como queríamos mostrar.
Passo 4
Seja restrita ao intervalo . Observe que:
E também:
Ou seja, .
Passo 5
Vamos observar o comportamento de no intervalo dado. Pelas regras de derivação temos:
Observe que:
E também:
Assim, . Portanto satisfaz as hipóteses do item a).
Passo 6
Da definição de derivada de ordem superior temos:
Se temos:
Observe que e e ambos os valores estão no intervalo . Portanto existem dois valores no intervalo aberto tais que , como queríamos mostrar.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)