Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 107

Usando a regra da cadeia, mostre que a regra da potência d d x x n = n x - 1 vale para as funções x n

x 1 / 4 = x

Passo 1

Esta questão é bastante prática. Precisamos obter a derivada da função aplicando a regra da potência e provar que, se a nossa função é escrita a partir de funções compostas, e derivarmos estas utilizando a regra da cadeia, obteremos exatamente o mesmo resultado. Uma excelente forma de confirmarmos que a regra funciona! Vamos fazer só uma revisão básica de regra da cadeia. Se tivermos uma função f ( x ) e outra g ( x ) tais que:

y = f g x

A derivada de y é:

y ' = f ' g x ⋅ g ' ( x )

Agora que relembramos este conceito, vamos direto as contas!

Passo 2

Vamos começar derivando a função utilizando a regra da potência. Desta forma, temos:

x 1 4 ' = 1 4 ⋅ x 1 4 - 1 = 1 4 ⋅ x - 3 4 = 1 4 x 3

Passo 3

Vamos utilizar a regra da cadeia agora. Seja f x = x = x 1 2 e g x = x . Então:

f g x = x

Observe que f x = g ( x ) . Vamos obter agora a derivada f ' x = g ' ( x ) . Assim, temos:

f ' x = x 1 2 ' = 1 2 ⋅ x 1 2 - 1

f ' x = 1 2 ⋅ x - 1 2 = 1 2 x  

Passo 4

Se fizermos a função composta f ' g x , obtemos:

f ' g x = f ' x = 1 2 x = x - 1 / 4 2

Passo 5

Vamos finalizar de calcular a derivada da função utilizando a regra da cadeia. Para isto, multiplicamos f ' g x por g ' x . Assim, obtemos:

x - 1 / 4 2 ⋅ 1 2 ⋅ x - 1 2 = 1 4 ⋅ x ( - 1 4 - 1 2 )

1 4 ⋅ x - 3 4 = 1 4 x 3

Logo, acabamos de verificar que tanto faz utilizar a regra da cadeia ou a regra da potência, o resultado será exatamente o mesmo!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y=log 2 ⁡ x 2 e 2 2 x + 1
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y=log 5 ⁡ 7 x 3 x + 2 ln ⁡ 5
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y=3 log 2 ⁡ t
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y=3 log 8 ⁡ log 2 ⁡ x
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y=t log 3 ⁡ ( e ( sin ⁡ t ) ( ln ⁡ 3 )