Enunciado

Se y 1 = J 0 ( x ) for uma solução para a equação de Bessel de ordem zero, verifique que uma outra solução é:

y 2 = J 0 x ln ⁡ x + x 2 4 - 3 x 4 128 + 11 x 6 13824

Passo 1

E aí, tudo bem?

Bom, se y 1 = J 0 ( x ) , a gente tem pela equação que tá lá no texto do livro que:

y 2 = J 0 x ∫ e - ∫ d x x J 0 x 2 d x

= J 0 x ∫ d x x 1 - x 2 4 + x 4 64 - x 6 2304 + … 2

= J 0 x ∫ 1 x + x 2 + 5 x 3 32 + 23 x 5 576 + …   d x

= J 0 x ln ⁡ x + x 2 4 + 5 x 4 128 + 23 x 6 3456 + …

= J 0 x ln ⁡ x 1 - x 2 4 + x 4 64 - x 6 2304 + … x 2 4 + 5 x 4 128 + 23 x 6 3456 + …

y 2 = J 0 x ln ⁡ x + x 2 4 - 3 x 4 128 + 11 x 6 13824 - …

E assim chegamos a solução pedida 😉

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos Problemas 28-33, use a relação de recorrência dada no Problema 21 e os resultados obtidos no Problema 27 e no Exemplo 4 para expressar a função de Besse pedida em termos de sen ⁡ x , cos ⁡ xe potê
Nos Problemas 23-26, use (14) ou (15) para obter os resultados pedidos. ∫ x n J 0 x d x = x n J 1 x + n - 1 x n - 1 J 0 x - n - 1 2 ∫ x n - 2 J 0 x d x
Use (7) com v = m , em que m é um inteiro não negativo, para mostrar que J m - x = - 1 m J m ( x )
Use (8) com v = m , em que m é um inteiro positivo, e o fato de que 1 Γ N = 0 , em que N é um inteiro negativo, para mostrar que: J - m x = - 1 m J m ( x )