Enunciado

Uma força eletromotriz de 60 V é aplicada a um circuito elétrico simples consistindo de um resistor de 20 ohms e de um indutor de 4 henrys. Se i amperes for a corrente de t s e i =0 quanto t=0. A) Expresse i como função de t. B) ache a corrente teoricamente maxima

Passo 1

A figura 1 mostra um exemplo de circuito RL. Se a gente usar a Lei das malhas Podemos dizer que :

E   =   L d i d t + R i

Então já temos uma boa expressão para achar i. A gora so falta usar os dados de contorno do sistema .

Passo 2

  1. Expresse i como função de t.
  2. E   =   L d i d t + R i

    E sabemos que

    E = 60 V

    L = 4 H

    R = 20 Ω  

    I = 0, se t =0

    Assim vamos plotar nossos valores na função

    60   =   4 d i d t + 20 i

    15   =   d i d t + 5 i

    Vamos resolver essa equação por separação de variáveis.

    15 - 5 i   =   d i d t

    d t   =   d i 15 - 5 i  

    Pronto, agora basta integrar nos dois lados.

    ∫ d t =   ∫ d i 15 - 5 i  

    t = - 1 5 ln ⁡ 15 - 5 i + C

    Agora é a parte do pulo do gato. Vamos usar : quando t = 0, i = 0

    0 =   - 1 5 ln ⁡ 15 + C

    C = l n 15 5

    Agora que já temos C, vamos isolar a corrente pra deixar ela evidente

    t = - 1 5 ln ⁡ 15 - 5 i + l n 15 5

    - 5 t - l n 15 5 = ln ⁡ 15 - 5 i

    15 - 5 i = e - 5 t + l n 15

    i = e - 5 t + l n 15 - 15 - 5

    i = - 1 5 e - 5 t + l n 15 + 3    

    Passo 3

  3. ache a corrente teoricamente maxima

Lembra de maximização de funções? Quando queremos uma função seja máxima precisamos derivar e igualar a zero.

d d t i = 0

d d t - 1 5 e - 5 t + l n 15 + 3 = 0

- 1 5 e - 5 t + l n 15   .   - 5 = 0

e - 5 t + l n 15 = 0

Essa função não tem um numero a resolva.

Se pegarmos e - 5 t + l n 15 é a mesma coisa que escrevermos

e - 5 t   .   e l n 15

15 e 5 t

Essa função tende a zero se e somente se t for muito, muito grande mesmo. OU seja , t tende a infinito.

Ou seja nossa corrente sera máxima quando

lim t → ∞ ⁡ i = l i m t → ∞ - 1 5 e - 5 t + l n 15 + 3

Todo o termo - 1 5 e - 5 t + l n 15 Vai a zero no infinito. Entao

I = 3 A

Resposta

A ) i = - 1 5 e - 5 t + l n 15 + 3    

b )   I = 3 A  

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