Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.8 - Ex. 31
Um circuito elétrico simples consiste em um indutor de 5 henrys em serie com um resistor de 40 ohms , e em t s a força eletromotriz é . Se a corrente for i amperes em t s e i = 0 quando t = 0, expresse i como função de t
Passo 1
A figura 1 mostra um exemplo de circuito RL. Se a gente usar a Lei das malhas Podemos dizer que :
Então já temos uma boa expressão para achar i. A gora so falta usar os dados de contorno do sistema .
Passo 2
Expresse i como função de t.
E sabemos que
E =
L= 5 H
R = 40
I = 0, se t =0
Assim vamos plotar nossos valores na função.
Essa é uma equação não homogênea, então não temos como usar o truque de separar variáveis. O jeito mais fácil é resolver por Fator Integrante. (Se estiver com duvida como prosseguir, da uma olhadinha na teoria. Temos uma seção especial só falando de fator integrante )
Entao se tivermos uma equação no formato
podemos usar um fator integrante , definido por
Passo 3
No nosso caso b(t) =
g(t) = 8
Logo
Vamos Multiplicar ambos os lados da nossa equação por
Da uma olhada no lado esquerdo e como ele parece uma regra da cadeia. Percebeu ?
Entao vamos reescrever nossa equação
Pronto, agora a parte difícil já foi resolvida. Vamos usar e integrar ambos os lados
Lembrando que fizemos uma integral indefinida, então temos que acrescentar uma constante arbitraria , C.
Perfeito. Encontramos nossa equação para a corrente , mas ainda não acabou. Temos que lembrar das condições de Contorno.
T = 0 , I = 0
Assim nossa equação fica