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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 27

  1. Desenhe a curva y = x 4 - x 3 ,   0 ≤ x ≤ 4 .
  2. Calcule os comprimentos das poligonais inscritas com n = 1 ,   2 e 4 lados. (Divida o intervalo em subintervalos iguais.) Ilustre esboçando essas poligonais (como na Figura 6).
  3. Escreva uma integral para o comprimento da curva.
  4. Use sua calculadora para encontrar o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. Compare com as aproximações na parte (b).

Passo 1

  1. Desenho:

    2. Passo 2

  2. Esboço do desenho:

    3. Digamos que f x = y = x 4 - x 3 . O polígono de um lado é apenas o seguimento de reta unindo os pontos 0 ,   f 0 = 0,0 e 4 ,   f 4 = 4,0 , e seu comprimento é L 1 = 4 .

    O polígono de dois lados une os pontos 0,0 , 2 ,   f 2 = ( 2,2 2 3 ) , e ( 4,0 ) . Seu comprimento é

    L 2 = 2 - 0 2 + 2 2 3 - 0 2 + 4 - 2 2 + 0 - 2 2 3 2 = 2 4 + 2 8 3 ≈ 6.43

    Similarmente, o polígono inscrito com quatro lados une os pontos 0,0 ,   1 ,   3 3 ,   2 ,   2 2 3 ,   ( 3,3 ) e ( 4,0 ) , então seu comprimento é

    L 4 = 1 + 3 3 2 + 1 + 2 2 3 - 3 3 2 + 1 + 3 - 2 2 3 2 + 1 + 9 ≈ 7.50

    Passo 3

  3. Usando a fórmula de comprimento do arco com

    4. d y d x = x 1 3 4 - x - 2 3 - 1 + 4 - x 3 = 12 - 4 x 3 4 - x 2 3

    o comprimento da curva é

    L = ∫ 0 4 1 + d y d x 2 d x = ∫ 0 4 1 + 12 - 4 x 3 4 - x 2 3 2 d x

    Passo 4

  4. De acordo com uma calculadora, o comprimento da curva é L ≈ 7.7988 . O valor real é maior do que qualquer uma das aproximações feitas na parte (b). Isso é sempre verdade, desde que qualquer aproximação pela reta esquerda entre dois pontos na curva é menor do que o comprimento da curva entre esses dois pontos.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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