A fórmula

κ(x) = f''(x) / [1 + (f'(x))^2]^(3/2)

deduzida do Exercício 5, expressa a curvatura kappa(x) de uma curva plana duas vezes diferenciável y = f(x) como uma função de x . Encontre a função de curvatura de cada uma das curvas nos Exercícios 23-26. Em seguida, desenhe f(x) com kappa(x) sobre o intervalo dado. Você encontrará algumas surpresas.

25. y = sen(x), 0 ≤ x ≤ 2π

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No problema dado, temos que

f x = sen ⁡ x

Diferenciando os termos,

f ' x = cos ⁡ x

Ok, vamos usar a derivada novamente

f ' ' x = - sen ⁡ x

Passo 2

Substituindo as expressões para f ' ( x ) e f ' ' ( x ) na fórmula

κ x = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 / 2

Trocando os termos já conhecidos

κ x = - sen ⁡ x 1 + cos ⁡ x 2 3 2 = sen ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x 3 2

No gráfico temos a seguinte configuração

Resposta

κ x = sen ⁡ x 1 + cos 2 ⁡ x 3 2

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