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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 49

As fórmulas das derivadas de sen ⁡ x , cos ⁡ x , tg ⁡ x , cotg ⁡ x , sec ⁡ x e cossec ⁡ x foram obtidas sob a hipótese de que x seja medido em radianos. Se x for medido em graus, então

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = π 180

(Ver Exercício 48 da Seção 1.6 . ) Use esse resultado para provas que, se x for medido em graus, então

  1. d d x sen ⁡ x = π 180 cos ⁡ x
  2. d d x cos ⁡ x = - π 180 sen ⁡ x

Passo 1

  1. Vamos calcular pela definição de derivada:

    2. f ' x = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x + h - sen ⁡ x h

    Vamos usar a identidade:

    sen ⁡ a + b = sen ⁡ a cos ⁡ b + cos ⁡ a sen ⁡ b

    Pronto, vamos substituir:

    f ' x = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x + h - sen ⁡ x h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ h + cos ⁡ x sen ⁡ h - sen ⁡ x h =

    = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ h - 1 + cos ⁡ x sen ⁡ h h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ h - 1 h + cos ⁡ x sen ⁡ h h =

    = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ h - 1 h + lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x sen ⁡ h h

    Temos que as funções dependentes de x são constantes, então vamos colocar para fora do limite:

    f ' x = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x cos ⁡ h - 1 h + lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x sen ⁡ h h = sen ⁡ x lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h + cos ⁡ x lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h

    Pronto, agora da Seção 1.6 temos o limite:

    lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h = 0

    Vamos usar isso e o limite do enunciado, e temos nossa resposta:

    f ' x = sen ⁡ x lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h + cos ⁡ x lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = sen ⁡ x ⋅ 0 + cos ⁡ x ⋅ π 180 = π 180 cos ⁡ x

    Passo 2

  2. Vamos fazer os mesmos passos da letra (a), calcular pela definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x + h - cos ⁡ x h

Aqui vamos usar a identidade:

cos ⁡ a + b = cos ⁡ a cos ⁡ b - s en ⁡ a sen ⁡ b

Pronto, vamos substituir:

f ' x = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x + h - cos ⁡ x h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ h - sen ⁡ x sen ⁡ h - cos ⁡ x h =

= lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 - sen ⁡ x sen ⁡ h h = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 h - sen ⁡ x sen ⁡ h h =

= lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 h - lim h → 0 ⁡ s en ⁡ x sen ⁡ h h

Temos que as funções dependentes de x são constantes, então vamos colocar para fora do limite:

f ' x = lim h → 0 ⁡ cos ⁡ x cos ⁡ h - 1 h - lim h → 0 ⁡ sen ⁡ x sen ⁡ h h = cos ⁡ x lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h - sen ⁡ x lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h

Pronto, agora da Seção 1.6 temos o limite:

lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h = 0

Vamos usar isso e o limite do enunciado, e temos nossa resposta:

f ' x = cos ⁡ x lim h → 0 ⁡ cos ⁡ h - 1 h - sen ⁡ x lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h = cos ⁡ x ⋅ 0 - sen ⁡ x ⋅ π 180 = - π 180 sen ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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