Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 50
Suponha que seja uma função que é derivável em toda parte. Explique, se houver, a relação entre a periodicidade de e a de . Ou seja, se for periódica, também precisará ser periódica? Se for periódica, também precisará ser periódica?
Passo 1
Vamos lá, se é uma função periódica temos que será periódica também, vamos provar isso:
Vamos dizer que a função é uma função periódica para todo , então:
Onde é um período, assim derivando os dois lados temos:
Pronto, é uma função periódica.
Passo 2
Já se é uma função periódica temos que não precisa ser periódica, vamos ver como exemplo a função que não é periódica:
Derivando temos então a função:
Essa função não é periódica, assim se é uma função periódica, não precisa ser periódica.
Resposta
Se é uma função periódica temos que será periódica também, já se é uma função periódica temos que não precisa ser periódica.