Suponha que f seja uma função que é derivável em toda parte. Explique, se houver, a relação entre a periodicidade de f e a de f ' . Ou seja, se f for periódica, f ' também precisará ser periódica? Se f ' for periódica, f também precisará ser periódica?

Se f é uma função periódica temos que f ' será periódica também, já se f ' é uma função periódica temos que f não precisa ser periódica.

Enunciado

Vamos lá, se é uma função periódica temos que será periódica também, vamos provar isso:

Vamos dizer que a função é uma função periódica para todo , então:

Onde é um período, assim derivando os dois lados temos:

Pronto, é uma função periódica.

Já se é uma função periódica temos que não precisa ser periódica, vamos ver como exemplo a função que não é periódica:

Derivando temos então a função:

Essa função não é periódica, assim se é uma função periódica, não precisa ser periódica.

Se é uma função periódica temos que será periódica também, já se é uma função periódica temos que não precisa ser periódica.