Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.1 - Ex. 36
Analise as funções trigonométricas nos intervalos especificados indicando onde é crescente, decrescente, côncava para cima, côncava para baixo, e as coordenadas de todos os pontos de inflexão. Verifique se seus resultados estão em conformidade com o gráfico de gerado por algum recurso computacional.
36.
Passo 1
Peguemos o gráfico da função, dentro do intervalo pedido, pra já termos uma melhor ideia dos nossos resultados:
Passo 2
vai ser crescente entre os pontos de mínimo e os pontos de máximo, nesta ordem, necessariamente. Pra determiná-los, precisamos derivar a função e igualar a derivada a zero.
Temos:
Igualando a zero, vamos ter:
Do ciclo trigonométrico, temos que o ângulo cujo seno vale é o ângulo de , mais todos os arcos que distam desse ângulo, onde é um número inteiro qualquer.
Dentro desse intervalo, constam os arco de e , que são nossos pontos de mínimo e máximo, respectivamente!
Dessa forma, ao observar pelo gráfico, o intervalo onde a função é crescente será entre os pontos críticos:
A função será decrescente em:
Passo 3
Pra verificar os intervalos de concavidade voltada pra cima e pra baixo, precisamos dos pontos de inflexão, que se determinam quando igualamos a derivada segunda da função a zero.
Temos:
Igualando a zero, vamos ter:
Pelas identidades trigonométricas, reescrevemos da seguinte forma:
Pra que isso valha, temos que:
O ângulo cujo cosseno é zero é , que está dentro do intervalo trabalhado. Então, esse é o ponto de inflexão. Os intervalos de concavidade voltadas pra cima e pra baixo serão:
Pra cima:
Pra baixo:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)