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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 47

  1. Mostre que lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h h = 1 .
  2. Use o resultado de (a) como auxílio na dedução da fórmula para a derivada de tg ⁡ x diretamente da definição de derivada.

Passo 1

  1. Vamos lá, vamos calcular esse limite:

    2. lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h h

    Vamos então substituir a tangente por seno e cosseno:

    lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ h h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ h ⋅ 1 h

    Vamos manipular um pouco o limite para algo que já conhecemos, o limite fundamental:

    lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

    Vamos lá:

    lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h cos ⁡ h ⋅ 1 h = lim h → 0 ⁡ sen ⁡ h h ⋅ 1 cos ⁡ h = 1 ⋅ 1 1 = 1

    Pronto, mostramos que lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h h = 1 .

    Passo 2

  2. Vamos calcular pela definição de derivada:

f ' x = lim h → 0 ⁡ tg ⁡ x + h - tg ⁡ x h

Vamos usar a identidade:

tg ⁡ a + b = tg ⁡ a + tg ⁡ b 1 - tg ⁡ a tg ⁡ b

Pronto, vamos substituir:

f ' x = lim h → 0 ⁡ tg ⁡ x + h - tg ⁡ x h = lim h → 0 ⁡ tg ⁡ x + tg ⁡ h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h - tg ⁡ x h = lim h → 0 ⁡ tg ⁡ x + tg ⁡ h - tg ⁡ x 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h h =

= lim h → 0 ⁡ tg ⁡ x + tg ⁡ h - tg ⁡ x 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h ⋅ 1 h = lim h → 0 ⁡ tg ⁡ x + tg ⁡ h - tg ⁡ x + tg 2 ⁡ x tg ⁡ h h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h =

= lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h + tg 2 ⁡ x tg ⁡ h h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h = lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h 1 + tg 2 ⁡ x h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h

Passo 2

Agora vamos usar outra identidade trigonométrica sec 2 ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ x :

f ' x = lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h 1 + tg 2 ⁡ x h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h = lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h sec 2 ⁡ x h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h = sec 2 ⁡ x ⋅ lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h =

= sec 2 ⁡ x ⋅ lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h h h h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h = sec 2 ⁡ x ⋅ lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h h 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h = sec 2 ⁡ x ⋅ lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h h lim h → 0 ⁡ 1 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h

Aqui separamos em dois limites, o do denominador resolvemos com o limite fundamental:

lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h h = 1

O do denominador vamos aplicar o valor do limite:

f ' x = sec 2 ⁡ x ⋅ lim h → 0 ⁡ tg ⁡ h h lim h → 0 ⁡ 1 1 - tg ⁡ x tg ⁡ h = sec 2 ⁡ x ⋅ 1 1 1 - tg ⁡ x ⋅ 0 = sec 2 ⁡ x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se g x = f x s e nx , então g ' 0 = f ( 0 ) .
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = 1 1 + cos ⁡ x
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = cos sec ⁡ x
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se f xc o sx = s e nx , então f ' x = sec 2 ⁡ x .
Em cada item, determine onde f é diferenciável. f x = c o sx