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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 6.9 - Ex. 67

As fórmulas de integração para 1 u 2 - a 2 no Teorema 6.9.6 são válidas se u > a . Mostre que a fórmula a seguir é válida se u < - a :

∫ d u u 2 - a 2 = - arccosh ⁡ - u a + C         o u ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Passo 1

Vamos começar chamando x = - u a , então substituindo, temos:

- ∫ a a x 2 - 1 d x = - arccosh ⁡ x + C

Ou melhor,

= - arccosh ⁡ - u a + C

Para verificarmos a validade da expressão se u < - a , igualamos as expressões:

- arccosh ⁡ - u a = ln ⁡ - u a + - u a 2 - 1 2

- arccosh ⁡ - u a = ln ⁡ - u a + u 2 / a 2 - 1

Tirando o MMC das expressões, temos:

- arccosh ⁡ - u a = ln ⁡ - u + u 2 - a 2 a

Invertemos para aplicarmos a racionalização:

- arccosh ⁡ - u a = ln ⁡ a - u + u 2 - a 2 × - u + u 2 - a 2 - u + u 2 - a 2

Assim, temos:

= ln ⁡ | u + u 2 - a 2 | - ln ⁡ a

= ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C

Ou, para concluir, ∫ d u u 2 - a 2 = ln ⁡ u + u 2 - a 2 + C .

Prontinho!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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