Enunciado

Use as derivadas primeira e segunda para mostrar que o gráfico de y = arctanh ⁡ x é sempre crescente e tem um ponto de inflexão na srcem.

Passo 1

Primeiro, vamos concordar que a função arctanh ⁡ x é definida para valores menores que 1, certo? Melhor dizendo, x < 1 .

O gráfico abaixo demonstra como ela é uma função crescente!

A derivada primeira dessa função é:

d d x 1 1 - x 2 > 0

Já a derivada segunda, é:

d d x 1 1 - x 2 = 2 x 1 - x 2 2

Graficamente, temos:

Essa derivada segunda, muda de sinal em x = 0 , então existe um ponto de inflexão lá.

Prontinho!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre dy/dx.y = arcsinh ( (1)/(3) x )
Encontre dy/dx.y = sinh^3 ( 2 x )
Encontre dy/dx.y = (arccoth x)^2
Encontre dy/dx.y = arc sin h ( tanh x )
Encontre dy/dx.y = ln ( arccosh x )