Use as derivadas primeira e segunda para mostrar que o gráfico de y = arctanh(x) é sempre crescente e tem um ponto de inflexão na srcem.

Passo 1

Primeiro, vamos concordar que a função arctanh ⁡ x é definida para valores menores que 1, certo? Melhor dizendo, x < 1 .

O gráfico abaixo demonstra como ela é uma função crescente!

A derivada primeira dessa função é:

d d x 1 1 - x 2 > 0

Já a derivada segunda, é:

d d x 1 1 - x 2 = 2 x 1 - x 2 2

Graficamente, temos:

Essa derivada segunda, muda de sinal em x = 0 , então existe um ponto de inflexão lá.

Prontinho!!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre dy/dx.y = arcsinh(1 / 3 * x)
Encontre dy/dx.y = sinh^3(2x)
Encontre dy/dx.y = arccoth(x)^2
Encontre dy/dx.y = arcsenh(tanh(x))
Encontre dy/dx.y = ln(arccosh(x))