Para a função abaixo calcule: lim x → 2 ⁡ f x - f ( 2 ) x - 2

f(x) = (2 / 3) \* x^2

Passo 1

Para o limite dado x → 2   , precisamos analisar os limites laterais primeiro e calcular f ( 2 ) .

Assim: f 2 = 2 3 ( 2 2 ) = 8 3

Para x → 2 + , temos que:

lim x → 2 + ⁡ f x - f ( 2 ) x - 2 = lim x → 2 + ⁡ 2 3 x 2 - 8 3 x - 2 = lim x → 2 + ⁡ 2 3 ( x 2 - 4 ) x - 2 = lim x → 2 + ⁡ 2 3 ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 ) =

= lim x → 2 + ⁡ 2 3 x + 2 = 2 3 2 + 2 = 8 3

Passo 2

De forma análoga, para x → 2 - , temos que:

lim x → 2 - ⁡ f x - f ( 2 ) x - 2 = ⁡ lim x → 2 - ⁡ 2 3 x + 2 = 8 3

Passo 3

Como lim x → 2 - ⁡ 2 3 x + 2 = 8 3       e lim x → 2 + ⁡ 2 3 x + 2 = 8 3 , conclui-se que como os limites laterais são iguais e portanto lim x → 2   ⁡ f x - f ( 2 ) x - 2   existe e é dado por:

lim x → 2   ⁡ f x - f ( 2 ) x - 2 = 8 3

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

lim x → a ⁡ f x = L     s e   e   s o m e n t e   s e   lim x → a + ⁡ f x = L   e   lim x → a - ⁡ f x = L .

Resposta

8 3

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