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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 1c

Para a função abaixo calcule: underset(x -> 2)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2)

f (x) = (2)/(3) x^2

Passo 1

Para o limite dado x -> 2^() , precisamos analisar os limites laterais primeiro e calcular f ( 2 ) .

Assim: f (2) = (2)/(3) ( 2^2 ) = (8)/(3)

Para x -> 2^+ , temos que:

underset(x -> 2^+)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) ((2)/(3) x^2 - (8)/(3))/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) ((2)/(3) ( x^2 - 4 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^+)(lim) ((2)/(3) ( x - 2 ) ( x + 2 ))/(( x - 2 )) =

= underset(x -> 2^+)(lim) (2)/(3) (x + 2) = (2)/(3) (2 + 2) = (8)/(3)

Passo 2

De forma análoga, para x -> 2^- , temos que:

underset(x -> 2^-)(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = underset(x -> 2^-)(lim) (2)/(3) (x + 2) = (8)/(3)

Passo 3

Como underset(x -> 2^-)(lim) (2)/(3) (x + 2) = (8)/(3) e underset(x -> 2^+)(lim) (2)/(3) (x + 2) = (8)/(3) , conclui-se que como os limites laterais são iguais e portanto underset(x -> 2^())(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) existe e é dado por:

underset(x -> 2^())(lim) (f (x) - f ( 2 ))/(x - 2) = (8)/(3)

Essa afirmação pode ser feita devido a definição do seguinte Teorema:

Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a , então

underset(x -> a)(lim) f (x) = L s e e s o m e n t e s e underset(x -> a^+)(lim) f (x) = L e underset(x -> a^-)(lim) f (x) = L .

Resposta

(8)/(3)

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