Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 76
(a) Quão grande devemos tornar para que ?
(b) Tomando no Teorema 5, temos a igualdade
Demonstre isso diretamente usando a Definição 7
Passo 1
Fala, gente bonita! Tudo certinho com vocês? Vamos ver essa questãozinha juntos.
O item (a) pede pra resolvermos essa inequação aqui:
Já o item (b), pede pra relembrarmos a Definição 7 apresentada nesse capítulo. Vamos relembrar aqui:
Definição 7:
A partir dessas informações, ele pede para demostrarmos essa igualdade:
Muita calma nessa hora!
Sempre que trabalhamos com a definição precisa de limite, as coisas parecem super confusas. Mas vamos respirar fundo e pensar com calma.
Basicamente, o que a Definição 7 está falando pra gente é o seguinte:
Faz de conta que já temos o resultado de um limite no infinito, mas queremos demonstrar ele. Então queremos demonstrar isso aqui:
Então precismos de um número bem grandão e um outro número bem pequenininho. Precisamos conseguir mostrar 3 coisas:
Vamos trabalhar com um valor de , tal que
Existe alguma relação entre os números e ;
Vamos mostrar que
Se conseguirmos mostrar tudo isso, então demonstramos o limite!
Vamos ver como fazer isso juntos!
Passo 2
Vamos começar atacando o item (a).
Precisamos resolver essa inequaçãoaqui:
Invertendo os dois lados da inequação e também a desisgualdade, temos:
Elevando ao quadrado dos dois lados, temos:
Legal! Então para que a desigualdade seja verdadeira precisamos de valores de maiores do que .
Vamos para o item (b).
Passo 3
Lembrando, queremos usar a Definição 7 pra demonstrar que:
Vamos olhar novamente pra Definição 7:
Comparando o nosso limite com a Definição, conseguimos perceber que:
Vamos relembrar o que precisamos mostrar:
Vamos trabalhar com um valor de , tal que
Existe alguma relação entre os números e ;
Vamos mostrar que
Pra esse tipo de questão, normalmente encontramos um bom valor pra partindo de uma afirmação com essa cara aqui:
No nosso caso, temos:
Isolando o , descobrimos que:
Legal! Conseguimos descobrir um valor que precisa ser sempre maior. Então como precismos de um valor pra , tal que , vamos dizer que:
Legal! De uma vez só, mostramos as duas primeiras coisas que queríamos:
Vamos trabalhar com um valor de , tal que
Existe alguma relação entre os números e ;
Se conseguirmos mostrar a terceira, fechamos a demonstração!
Passo 4
Beleza. Agora só precisamos mostrar que, para o valor de que escolhemos, :
Lembrando que , podemos dizer que:
Boa! Então, pela Definição 7, conseguimos demonstrar que:
Resposta
a)
b) Demonstrado na questão