Use a definição 9 para mostrar que lim x → ∞ ⁡ e x = �� .

Enunciado

Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar o seguinte limite:

Para isso, o enunciado quer que utilizemos a seguinte definição:

“Seja f uma função definida em algum intervalo . Então

significa que para todo positivo existe um correspondente número positivo tal que

se então ”.

Nesse sentido, comparando os limites, podemos inferir que:

Ahh, lembre-se também da seguinte propriedade dos logaritmos:

Agora vamos aplicar essa definição!! 😉

Suponha dado .

Precisamos de de tal modo que , então

Então, aplicando a propriedade dos logaritmos, temos:

Precisamos escolher um valor para de modo que a função seja maior que para todo maior que esse valor.

Assim, escolhemos como o máximo entre e , garantindo que seja grande o suficiente para lidar com mesmo quando é muito pequeno:

Então,

Daí, aplicando na função, temos:

Perceba que representa o maior valor entre e .

Sabemos que é uma função exponencial que cresce exponencialmente à medida que aumenta.

Portanto, para suficientemente grande, será maior que e, pois é sempre maior que .

Assim, para suficientemente grande, será maior ou igual a .

E como , então será igual ou maior que .

Portanto, pela definição 9, sabemos que:

Então,

Demonstração