Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 79
Use a definição 9 para mostrar que .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar o seguinte limite:
Para isso, o enunciado quer que utilizemos a seguinte definição:
“Seja f uma função definida em algum intervalo . Então
significa que para todo positivo existe um correspondente número positivo tal que
se então ”.
Nesse sentido, comparando os limites, podemos inferir que:
Ahh, lembre-se também da seguinte propriedade dos logaritmos:
Agora vamos aplicar essa definição!! 😉
Passo 2
Suponha dado .
Precisamos de de tal modo que , então
Então, aplicando a propriedade dos logaritmos, temos:
Passo 3
Precisamos escolher um valor para de modo que a função seja maior que para todo maior que esse valor.
Assim, escolhemos como o máximo entre e , garantindo que seja grande o suficiente para lidar com mesmo quando é muito pequeno:
Então,
Passo 4
Daí, aplicando na função, temos:
Perceba que representa o maior valor entre e .
Sabemos que é uma função exponencial que cresce exponencialmente à medida que aumenta.
Portanto, para suficientemente grande, será maior que e, pois é sempre maior que .
Assim, para suficientemente grande, será maior ou igual a .
E como , então será igual ou maior que .
Portanto, pela definição 9, sabemos que:
Então,
Resposta
Demonstração