Enunciado

  1. De que tamanho devemos tomar x para que
  2. 1 x 2 < 0,0001

  3. Tomando r = 2 no Teorema 5, temos a igualdade

lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Demonstre isso diretamente usando a Definição 7

Passo 1

Opa, e aí, tudo bem?! Nesse probleminha a gente tem que resolver duas coisas. Primeiro temos:

1 x 2 < 0,0001

Onde a gente precisa descobrir quem é x . Aqui é só resolver a inequação!

Depois temos que demonstrar a igualdade:

lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Usando a Definição 7 dessa secção. Ela diz que, pra uma função definida no intervalo - ∞ , a . Então:

lim x → ∞ ⁡ f x = L

Isso significa que para todo ε > 0   existe um número N correspondente de modo que, se:

x > N

Então:

f x - L < ε  

Em outras palavras, isso diz que os valores de f x podem ficar próximos de L   (dentro de uma distância ε , onde ε é qualquer número positivo), bastando apenas tornar x suficientemente

grande (maior que   N , onde   N depende de ε ).

Aqui a gente vai substituir as variáveis na definição acima e achar uma relação entre ε e N onde N < x .

Passo 2

Para resolvermos o primeiro item, não temos muitos misterios, basta resolvermos a inequação:

1 x 2 < 0,0001

Isolando o x 2 :

x 2 > 1 0,0001

x 2 > 1 0,0001 = 10000

Tirando a raiz:

x > 1000

x > 100

Passo 3

Aqui a gente tem:

lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Onde:

f x = 1 x 2  

L = 0

O x ta tendendo a infinito, então podemos dizer que:

x > 0

Então temos que:

1 x 2 < ε

Afinal sabemos que ε > 0 e 1 / ∞ 2 é igual a zero. Assim:

x 2 > 1 ε

x > 1 ε

Podemos escolher:

N = 1 ε

Assim obedecemos a condição:

x > N

Então:

f x - L < ε  

1 x 2 - 0 < ε  

Vimos lá em cima que:

1 x 2 < ε

Então:

1 x 2 - 0 = 1 x 2 < ε

Então pelo Teorema 7 temos que:

lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Prontinho!

Resposta

Desenvolvimento.

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Determine o limite de cada função a) l i m (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 4 x) quando x - 0^-
Determine o limite de cada função a) l i m (x^2 - 3 x + 2)/(x^3 - 2 x^2) quando x - 0^()
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