Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.6 - Ex. 75
- De que tamanho devemos tomar para que
- Tomando no Teorema 5, temos a igualdade
Demonstre isso diretamente usando a Definição 7
Passo 1
Opa, e aí, tudo bem?! Nesse probleminha a gente tem que resolver duas coisas. Primeiro temos:
Onde a gente precisa descobrir quem é . Aqui é só resolver a inequação!
Depois temos que demonstrar a igualdade:
Usando a Definição 7 dessa secção. Ela diz que, pra uma função definida no intervalo . Então:
Isso significa que para todo existe um número correspondente de modo que, se:
Então:
Em outras palavras, isso diz que os valores de podem ficar próximos de (dentro de uma distância , onde é qualquer número positivo), bastando apenas tornar suficientemente
grande (maior que, onde depende de ).
Aqui a gente vai substituir as variáveis na definição acima e achar uma relação entre e onde .
Passo 2
Para resolvermos o primeiro item, não temos muitos misterios, basta resolvermos a inequação:
Isolando o :
Tirando a raiz:
Passo 3
Aqui a gente tem:
Onde:
O ta tendendo a infinito, então podemos dizer que:
Então temos que:
Afinal sabemos que e é igual a zero. Assim:
Podemos escolher:
Assim obedecemos a condição:
Então:
Vimos lá em cima que:
Então:
Então pelo Teorema temos que:
Prontinho!
Resposta
Desenvolvimento.