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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 3q

3.Calcule.

int cos^2 x sin^2 x d x

Passo 1

Oi, galerinha! Antes de tentar resolver essa integral, vamos dar uma mexida nessa função!

Repare que a expressão é quase a formula da equação trigonométrica da soma dos arcos:

2 sin x cos x = sin 2 x

Vamos mexer no equação dentro da integral para que fique parecido com isso :

sin^2 x cos^2 x = ((2 sin x cos x)/(2))^2

sin^2 x cos^2 x = ((sin 2 x)/(2))^2

Concluindo

sin^2 x cos^2 x = (sin^2 2 x)/(4)

Então ficamos com a seguinte integral,

int cos^2 x sin^2 x d x = (1)/(4) int sin^2 2 x d x

Passo 2

Para resolvermos este tipo de Integral temos que lembrar da seguinte formula:

sin^2 a = (1)/(2) - (cos^2 2 a)/(2)

Para a = 2 x teremos:

sin^2 2 x = (1)/(2) - (cos^2 2 x)/(2)

Substituindo na integral

int cos^2 x sin^2 x d x = (1)/(4) int ((1)/(2) - (cos^2 2 x)/(2)) d x

Resolvendo essa integral,

int cos^2 x sin^2 x d x = (1)/(4) ((x)/(2) - (sin 4 x)/(8))

int cos^2 x sin^2 x d x = (x)/(8) - (sin 4 x)/(32) + C

Resposta

int cos^2 x sin^2 x d x = (x)/(8) - (sin 4 x)/(32) + C

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