Um objeto de massa m é arrastado ao longo de um plano horizontal por uma força agindo ao longo de uma corda presa ao objeto. Se a corda fizer um ângulo theta com o plano, então a intensidade da força será

F = (μmg) / (μ * sen(θ) + cos(θ))

em que mu é uma constante chamada coeficiente de atrito. Para que valor de θ F é menor?

Passo 1

Fala meus queridos. Nessa questão nos é dado uma função F que é a força que uma corda realiza.

F = μ m g ( μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ )

Nós precisamos minimizar F para 0 ≤ θ ≤ π 2 , porque 90 ° é maior grau que a corda pode formar.

E para maximizar ou minimizar uma função F basta encontrarmos sua derivada e igualar a função a zero.

F ' θ = 0

Passo 2

F é dada por:

F = μ m g ( μ sen ⁡ θ + cos ⁡ θ )

Minimizando F (suando a regra do quociente) temos:

F ' θ = 0 - μ m g ( μ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ ) ( μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ ) 2  

F ' θ = - μ m g ( μ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ ) ( μ sin ⁡ θ + cos ⁡ θ ) 2  

Igualando essa derivada a zero temos:

F ' θ = 0

- μ m g μ c o s θ - s e n θ = 0

Como μ m g são constantes diferentes de zero, teremos:

μ c o s θ - s e n θ = 0

μ c o s θ = s e n θ

μ = s e n θ cos ⁡ θ

t g θ = μ

Logo

θ = A r c t a n μ

A força encontrada é portanto:

F = μ m g μ s e n A r c t a n μ + cos ⁡ A r c t a n μ

Resposta

F tem seu valor mínimo quando θ = μ tan ⁡ θ .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados