Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.8 - Ex. 13
Para a função custo e demanda dada, encontre o nível de produção que maximizará o lucro.
Passo 1
Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade de maximização.
Dada a função custo:
E de produção:
é o custo e é a produção.
Precisamos encontrar qual o nível de produção levará nosso lucro ao máximo.
A função lucro é dada pela diferença entre a receita total e o custo total:
é o lucro e é a receita
Para que haja um máximo dessa função, sabemos que a derivada deve ser igual a zero. Temos então:
Isso significa que a receita marginal e devem ser iguais. Para que o ponto seja de fato um máximo, sabemos que devemos ter também uma concavidade para baixo, ou seja, a segunda derivada do lucro deve ser negativa. Então:
Satisfazendo então essas duas condições, teremos o lucro maximizado.
Passo 2
O enunciado nos dá a função custo total e o preço por item . A receita total é o preço por item vezes a quantidade vendida:
Para cumprir a primeira condição, derivamos então e e igualamos:
Igualando as derivadas:
Agora devemos resolver a equação de segundo grau, para positivo:
O resultado positivo é:
Passo 3
Devemos cumprir a segunda condição para que esse seja de fato o lucro máximo. Derivando novamente as duas funções:
Para , podemos ver que temos de fato:
Então maximiza o lucro.