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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.9 - Ex. 51

Uma função definida por uma série de potências ∑ n = 0 ∞ a n x n com raio de convergência R>0 tem uma série de Taylor que converge para a função em todos os pontos de (-R, R). Mostre que isso é verdade demonstrando que a série de Taylor gerada por ∑ n = 0 ∞ a n x n é a própria série ∑ n = 0 ∞ a n x n .

Uma consequência imediata disso é que séries como

x   s e n   x = x 2 - x 4 3 ! + x 6 5 ! - x 8 7 ! + …

E

x 2 e x = x 2 + x 3 + x 4 2 ! + x 5 3 ! + …

obtidas pela multiplicação de séries de Taylor por potências de x, bem como séries obtidas pela integração e derivação de séries de potências convergentes, são as próprias séries de Taylor geradas pelas funções que elas representam.

Passo 1

Falaaa meus queridos! Tudo bom com vocês? Eu espero que sim! Vamos lá detonar mais uma questãozinha!

Se:

f x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Logo, podemos dizer que:

f k x = ∑ n = k ∞ n n - 1 n - 2 … n - k + 1 a n x n - k

Passo 2

E também:

f k 0 = k ! a k

Por sua vez, temos que:

a k = f k 0 k !   p a r a   k   s e n d o   u m   i n t e i r o   n ã o   n e g a t i v o  

Passo 3

Portanto, os coeficientes de f ( x ) são idênticos aos coeficientes correspondentes nas séries de Maclaurin de f ( x ) e as condições que o seguem.

Resposta

A série de Taylor gerada por ∑ n = 0 ∞ a n x n é a própria série ∑ n = 0 ∞ a n x n .

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

Exercícios de Livros Relacionados

Explique como o teorema do valor médio (Seção 4.2, Teorema 4) é um caso especial do teorema de Taylor.
Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10. 1 2 - x
Utilize a equação f x = f a + f 1 a x - a + f ' ' c 2 2 x - a 2 Para estabelecer o teste a seguir.Seja f com primeira e segunda derivadas contínuas e suponha que f ' a = 0 . Então f tem um máximo loca
Utilize a substituição (como no Exemplo 4) para encontrar a série de Taylor em x = 0 das funções nos Exercícios 1-10. ln ⁡ 1 + x 2
A aproximação e x = 1 + x + x 2 2 é utilizada quando x é pequeno. Utilize o teorema da estimativa do resto para estimar o erro quando x0,1 .