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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 14b

Calcule F^' (x) sendo F (x) igual a

x^2 (cos x) (1 + ln x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = x^2 (cos x)

e

g (x) = (1 + ln x)

Assim:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (x^2 (cos x))^' * (1 + ln x) + (1 + ln x)^' * x^2 (cos x)

Passo 2

Vamos usar a regra da função logarítmica natural, da função trigonométrica, do polinômio e da função constante:

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(cos (x))^' = - sen (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , vamos usar a regra do produto novamente:

(r (x) s (x))^' = r ' (x) s (x) + s ' (x) r (x)

Temos que:

r (x) = x^2

e

s (x) = cos x

Assim:

(x^2 (cos x))^' = r ' (x) s (x) + s ' (x) r (x) = (x^2)^' * cos x + (cos x)^' * x ²

Para calcular r^' (x) vamos usar a regra do polinômio:

r ' ( x ) = (x^2)^' = 2 x^(2 - 1) = 2 x

Com s ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

s ' ( x ) = (cos x)^' = - sen x

Substituindo de volta:

(x^2 (cos x))^' = (x^2)^' * cos x + (cos x)^' * x^2 = 2 x * cos x + (- sen x) * x^2 = 2 x cos x - x ² sen x

Passo 4

Por último, com g ' ( x ) vamos usar a da função logarítmica natural e da função constante:

g ' ( x ) = (1 + ln x)^' = 0 + (1)/(x) * (x)^' = (1)/(x) * x^(1 - 1) = (1)/(x) * x^0 = (1)/(x) * 1 = (1)/(x)

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (x^2 (cos x))^' * (1 + ln x) + (1 + ln x)^' * x^2 (cos x) = (2 x cos x - x^2 sen x) * (1 + ln x) + (1)/(x) * x^2 (cos x) = (2 x cos x - x^2 sen x) * (1 + ln x) + x (cos x)

Resposta

f^' (x) = (2 x cos x - x^2 sen x) * (1 + ln x) + x (cos x)

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