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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 12i

Calcule f^' (x) .

f (x) = (ln x)/(x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = ln x

e

g (x) = x

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((ln x)/(x))^' = ((ln x)^' * (x) - (ln x) * (x) ')/((x)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio e da função logarítmica natural:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a da função logarítmica natural:

h^' (x) = (ln x)^' = (1)/(x) * (x)^' = (1)/(x) * x^(1 - 1) = (1)/(x) * x^0 = (1)/(x) * 1 = (1)/(x)

Com g ' ( x ) vamos usar regra do polinômio:

g^' (x) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((ln x)/(x))^' = ((ln x)^' * (x) - (ln x) * (x) ')/((x)^2) = ((1)/(x) * (x) - (ln x) * 1)/(x^2) = (1 - ln x)/(x^2)

Resposta

f^' ( x ) = (1 - ln x)/(x^2)

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