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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 12f

Calcule f^' (x) .

f (x) = (x + 1)/(x ln x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = x + 1

e

g (x) = x ln x

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((x + 1)/(x ln x))^' = ((x + 1)^' * (x ln x) - (x + 1) * (x ln x) ')/((x ln x)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra do polinômio, da função constante e da função logarítmica natural:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(c)^' = 0

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra do polinômio e da função constante:

h^' (x) = (x + 1)^' = x^(1 - 1) + 0 = x^0 = 1

Já para calcular g^' (x) vamos usar a regra do produto:

(r (x) s (x))^' = r ' (x) s (x) + s ' (x) r (x)

Temos que:

r (x) = x

e

s (x) = ln x

Assim:

g^' (x) = (x ln x) ' = r^' (x) s (x) + s^' (x) r (x) = (x)^' * ln x + (ln x)^' * x

Passo 4

Vamos calcular r ' ( x ) , usando a regra do polinômio:

r ' ( x ) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Com s ' ( x ) vamos usar a regra da função logarítmica natural:

s^' (x) = (ln x)^' = (1)/(x) * (x)^' = (1)/(x) * x^(1 - 1) = (1)/(x) * x^0 = (1)/(x) * 1 = (1)/(x)

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

g^' (x) = (x)^' * ln x + (ln x)^' * x = 1 * ln x + (1)/(x) * x = ln x + 1

Passo 6

Agora é só voltar na primeira fórmula e pronto:

f^' (x) = ((x + 1)/(x ln x))^' = ((x + 1)^' * (x ln x) - (x + 1) * (x ln x) ')/((x ln x)^2) = (1 * (x ln x) - (x + 1) * (ln x + 1))/((x ln x)^2) = (x ln x - x ln x - x - ln x - 1)/((x ln x)^2) = (- x - ln x - 1)/((x ln x)^2)

Resposta

f^' ( x ) = (- x - ln x - 1)/((x ln x)^2)

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