Calcule f'(x) .

f(x) = e^x * cos(x)

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = e^x

e

g (x) = cos x

Assim:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (e^x)^' * cos x + (cos x)^' * e^x

Passo 2

Vamos usar a regra da função exponencial e da função trigonométrica:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(cos (x))^' = - sen (x)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a regra da função exponencial:

h ' ( x ) = (e^x)^' = e^x * (x)^' = e^x * x^(1 - 1) = e^x * x^0 = e^x * 1 = e^x

Com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = (cos x)^' = - sen (x)

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (e^x)^' * cos x + (cos x)^' * e^x = e^x * cos x + (- sen (x)) * e^x = e^x cos x - e^x sen (x)

Resposta

f^' (x) = e^x cos x - e^x sen (x)

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