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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.4 - Ex. 74

Se f é uma função quadrática tal que f 0 = 1 e

∫ f x x 2 x + 1 3 d x

é uma função racional, encontre o valor de f ' 0 .

Passo 1

Vamos fazer:

f x = a x 2 + b x + c

Temos que:

f ' x = 2 a x + b

Queremos f ' 0 , vamos substituir para ter uma noção do que devemosa achar para ter esse valor:

f ' 0 = 2 . a . 0 + b = b

Devemos então achar o valor de b .

Passo 2

Vamos então calcular por Frações parciais f x x 2 x + 1 3 :

f x x 2 x + 1 3 = a x 2 + b x + c x 2 x + 1 3

Como f 0 = 1 , devemos ter c = 1 :

f x x 2 x + 1 3 = a x 2 + b x + c x 2 x + 1 3 = a x 2 + b x + 1 x 2 x + 1 3 = A x + B x 2 + C x + 1 + D x + 1 2 + E x + 1 3

Para a integral não ter nenhum logaritmo vamos fazer com que:

A = C = 0

Vamos substituir:

f x x 2 x + 1 3 = A x + B x 2 + C x + 1 + D x + 1 2 + E x + 1 3 = B x 2 + D x + 1 2 + E x + 1 3

Passo 3

Vamos achar os valores de B , D e E , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores x 2 - 4 x + 6 2 :

a x 2 + b x + 1 = B x + 1 3 + D x 2 x + 1 + E x 2

Vamos destrinchar agora e isolar os termos do polinômio:

a x 2 + b x + 1 = B x + 1 3 + D x 2 x + 1 + E x 2 = B x 3 + 3 B x 2 + 3 B x + B + D x 3 + D x 2 + E x 2 = x 3 B + D + x 2 3 B + D + E + x 3 B + B

Temos uma igualdade de polinômios, então valos igualar os coeficientes de x de cada lado, e os termos constantes também, assim vamos ficar com o sistema:

B + D = 0 3 B + D + E = a 3 B = b B = 1 → D = - B = - 1 E = a - 3 B - D = a - 3 + 1 = a - 2 b = 3 B = 1

Achamos que b = 3 , temos então que f ' 0 = 3 .

Resposta

f ' 0 = 3

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