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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.6 - Ex. 24

Nos exercícios de 13 a 24, ache a derivada da função dada

24) d d t 2 t 2 + 1 3 t 3 + 1 2  

Passo 1

Para resolver essa derivada, precisamos primeiro aplicar a Regra da Cadeia por causa da potência, primeiro calculamos a derivada dela:

d ( x 2 ) d x = 2 x

E então substituímos x pela função de dentro e multiplicamos pela derivada da função de dentro:

2 2 t 2 + 1 3 t 3 + 1   d d t 2 t 2 + 1 3 t 3 + 1

Passo 2

Certo, agora precisamos resolver a derivada da última conta,

d d t 2 t 2 + 1 3 t 3 + 1

vamos usar a Regra do Quociente:

d d x f ( x ) g ( x ) = f ' x g x - f x g ' ( x ) g ( x ) 2

Nossa derivada então fica:

d d t 2 t 2 + 1 3 t 3 + 1 = 4 t .   3 t 3 + 1 - 2 t 2 + 1 . 9 t 2 ( 3 t 3 + 1 ) 2 = - t ( 6 t 3 + 9 t - 4 ) ( 3 t 3 + 1 ) 2

Passo 3

E então, basta fazer o produto que estava faltando no Passo 1:

2 2 t 2 + 1 3 t 3 + 1   . - t 6 t 3 + 9 t - 4 ( 3 t 3 + 1 ) 2 = - 2 t ( 2 t 2 + 1 ) 6 t 3 + 9 t - 4 ( 3 t 3 + 1 ) 3

f ' t = - 2 t ( 2 t 2 + 1 ) 6 t 3 + 9 t - 4 ( 3 t 3 + 1 ) 3

Resposta

f ' t = - 2 t ( 2 t 2 + 1 ) 6 t 3 + 9 t - 4 ( 3 t 3 + 1 ) 3

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