Enunciado

Nos exercícios de 25 a 36, ache a derivada da função dada

30) f ( x ) = t g 2 x 2

Passo 1

Certo, precisamos começar aplicando a Regra da Cadeia, primeiro resolvemos a derivada do quadrado de fora:

d d t t 2 = 2 t

Aí substituímos o t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dessa mesma função:

f ' x = 2 t g ( x 2 ) d d x t g ( x 2 )

Passo 2

Vamos agora resolver a derivada que apareceu na última conta:

d d x t g ( x 2 )

Precisamos aplicar a Regra da Cadeia mais uma vez, primeiro derivamos a função de fora:

d d t t g t = s e c 2 t

Substituímos o t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dela:

s e c 2 ( x 2 ) d d x ( x 2 )

E resolvemos a última conta, que fica:

2 x   s e c 2 ( x 2 )

Passo 3

Agora é só substituir na última parte do Passo 1, onde faltava calcular a derivada:

f ' x = 2 t g ( x 2 ) d d x t g ( x 2 )

Fica assim:

f ' x = 2 t g ( x 2 ) 2 x   s e c 2 ( x 2 )

Simplificando:

f ' x = 4 x   t g ( x 2 )   s e c 2 ( x 2 )

Resposta

f ' x = 4 x   t g ( x 2 )   c o s e c 2 ( x 2 )

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