Nos exercícios de 25 a 36, ache a derivada da função dada

31) f(x) = (tg^2(x) - x^2)^(1/3)

Passo 1

Certo, precisamos começar aplicando a Regra da Cadeia, primeiro resolvemos a derivada da potência de fora:

d d t t 3 = 3 t 2

Aí substituímos o t pela função de dentro e multiplicamos pela derivada dessa mesma função:

f ' x = 3 t g 2 x - x 2 2 d d x t g 2 x - x 2

Passo 2

Vamos agora resolver a derivada que apareceu na última conta:

d d x t g 2 x - x 2

Precisamos aplicar a Regra da Cadeia para cada um dos termos da subtração:

d d x t g 2 x = 2 t g x d d x t g x = 2 t g x s e c 2 x

E para o x 2 :

d d x x 2 = 2 x

E a derivada da diferença fica:

d d x t g 2 x - x 2 = 2 t g x s e c 2 x - 2 x

Passo 3

Agora é só substituir na última parte do Passo 1, onde faltava calcular a derivada:

f ' x = 3 t g 2 x - x 2 2 d d x t g 2 x - x 2

Fica assim:

f ' x = 6 t g 2 x - x 2 2 ( t g x s e c 2 x - x )

Resposta

f ' x = 6 t g 2 x - x 2 2 ( t g x s e c 2 x - x )

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