Sejam F1 e F2 dois pontos distintos do plano e seja K a metadeda distância de F1 a F2. O lugar geométrico do Ponto P do plano tais que PF1 * PF2 = K² se chama lemniscata de focos F1 e F2.

1. Tomando-se F1 = (-k,0) e F2=(k,0), determine a equação, em coordenadas cartesianas, de lemniscata.
2. Passe para coordenadas polares a euqação obtida no item a) tomando para pólo a origem e x como eixo polar. Desenhe a curva.

Podemos calcular a distância entre os pontos:

Distância entre F1 e P

Distância entre F2 e P

Jogando na fórmula da lemniscata:

4 + y²(x+k)² = k4

x4 - 2x²k² + k4 + y4 + y²(x²+k²+x²+k²) = k4

Arrumando isso, chegaremos a:

x4 + y4 + 2y²x² = k²(2x²-2y²)

Note que, na primeira parcela, teremos um produto notável:

= k²

Na letra b, o problema quer a equação em coordenadas polares:

Primeiramente, sabemos que:

Logo, na primeira parcela:

= =

E finalmente, temos:

Agora basta desenhar a curva para os diferentes valores de k, utilizando uma tabela de pontos: