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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.4 - Ex. 18

Demonstre que d d x sec ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema, temos que demonstrar que a derivada da secante é igual a secante multiplicada pela tangente, ou seja

d d x sec ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x

Tem ideia de como fazemos isso?

Antes de tudo temos que entender o que é a secante...

Podemos reescrever que a secante é dada por

sec ⁡ x = 1 cos ⁡ x

Dessa forma, podemos substituir essa relação na derivada para ver se podemos encontrar alguma relação...

Como reescrevemos a secante como uma fração, vamos derivar usando a regra do quociente

f = g h ,     f ' = g ' · h - g · h ' h 2

Veja só!

Passo 2

Derivando a função 1 / cos ⁡ x pela regra do quociente, chegamos em

d d x sec ⁡ x = d d x 1 cos ⁡ x

d d x 1 cos ⁡ x = d d x 1 · cos ⁡ x - 1 · d d x cos ⁡ x cos 2 ⁡ x

Sabemos que a derivada de uma constante é 0 , logo

d d x 1 cos ⁡ x = 0 · cos ⁡ x - 1 · d d x cos ⁡ x cos 2 ⁡ x

d d x 1 cos ⁡ x = - d d x cos ⁡ x cos 2 ⁡ x

Pelo teorema fundamental do cálculo, podemos ver que a derivada do c o s é - s e n ...

d d x 1 cos ⁡ x = - - sin ⁡ x cos 2 ⁡ x

d d x 1 cos ⁡ x = sin ⁡ x cos 2 ⁡ x

Show?

Reescrevendo o resultado, temos

d d x 1 cos ⁡ x = 1 cos ⁡ x sin ⁡ x cos ⁡ x

Como vimos no passo 1, 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x e pelas relações fundamentais da trigonometria, sabemos que sin ⁡ x cos ⁡ x = tan ⁡ x , logo

d d x 1 cos ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x

d d x sec ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

d d x sec ⁡ x = sec ⁡ x tan ⁡ x

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Calcule a derivada.i) y = root(3)(u) sec u
Calcule a derivada.e) y = (u + 1)/(ln u)
Calcule a derivadaU = (a)/(x^(12)) - (b)/(x^6)
Seja y = (1)/(x^2) . Verifique que x (d y)/(d x) + 2 y = 0 .
Calcule a derivada segunda.x = t sen t