Demonstre que d/dx (cossec x) = - cossec x cotg x

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar que a derivada da cossecante é dada da seguinte forma:

d d x ( c o s s e c   x ) =   -   c o s s e c   x   c o t g   x .

Para começar, vamos pensar um pouquinho... O que é a cossecante??

Bom... a cossecante é o inverso do seno, né?

c o s s e c   x   =   1 s e n   x

Então a gente pode partir desse princípio aí!!

Mas perceba que estamos isso é uma divisão, então precisaremos da regra do quociente:

u v ' = u ' v - u v ' v 2

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando a função 1 / s e n   x pela regra do quociente:

c o s s e c   x ' = 1 s e n   x ' ∴

( c o s s e c   x ) '   = ( 1 ) '   s e n   x   -   1   ( s e n   x ) ' ( s e n   x ) 2

Como ( 1 ) ' = 0 e ( s e n   x ) ' = c o s   x , temos que:

c o s s e c   x ' = - c o s   x s e n 2 x ∴

c o s s e c   x ' =   - 1 s e n   x   c o s   x s e n   x

Passo 3

Lembre-se novamente que:

c o s s e c   x   =   1 s e n   x

E que a cotangente é dada por:

c o t g   x = cos ⁡ x s e n   x

Assim, substituindo na nossa expressão, temos:

( c o s s e c   x ) ' =   - c o s s e c   x   c o t g   x

Está provado!!

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Demonstração.

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