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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.3 - Ex. 17

Demonstre que (d)/(d x) ( c o s s e c x ) = - c o s s e c x c o t g x .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar que a derivada da cossecante é dada da seguinte forma:

(d)/(d x) ( c o s s e c x ) = - c o s s e c x c o t g x .

Para começar, vamos pensar um pouquinho... O que é a cossecante??

Bom... a cossecante é o inverso do seno, né?

c o s s e c x = (1)/(s e n x)

Então a gente pode partir desse princípio aí!!

Mas perceba que estamos isso é uma divisão, então precisaremos da regra do quociente:

((u)/(v))^' = (u^' v - u v ')/(v^2)

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Derivando a função 1 // s e n x pela regra do quociente:

(c o s s e c x)^' = ((1)/(s e n x))^' :.

( c o s s e c x ) ' = (( 1 ) ' s e n x - 1 ( s e n x ) ')/(( s e n x )^2)

Como ( 1 ) ' = 0 e ( s e n x ) ' = c o s x , temos que:

(c o s s e c x)^' = (- c o s x)/(s e n^2 x) :.

(c o s s e c x)^' = - (1)/(s e n x) (c o s x)/(s e n x)

Passo 3

Lembre-se novamente que:

c o s s e c x = (1)/(s e n x)

E que a cotangente é dada por:

c o t g x = (cos x)/(s e n x)

Assim, substituindo na nossa expressão, temos:

( c o s s e c x ) ' = - c o s s e c x c o t g x

Está provado!!

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Demonstração.

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Suponha que x = x t seja derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que d d t x d x d t = d x d t 2 + x d 2 x d t 2
Seja y = (1)/(x) . Verifique que x^2 (d^3 y)/(d x^3) = 6 (d y)/(d x) .
Calcule a derivada segunda.y = x^3 + 2 x - 3
Seja y = x 2 , onde x = x t é uma função derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que d 2 y d t 2 = 2 d x d t 2 + 2 x d 2 x d t 2
Suponha que y = y r seja derivável até a 2 ª ª ordem. Verifique que d d r r 2 + r d y d r = 2 r + 1 d y d r + r 2 + r d 2 y d r 2