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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 53

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (1)/(sqrt(x) e^(- sqrt(x))) sec^2 (e^(sqrt(x)) + 1) d x

Passo 1

Vamos começar tentando uma substituição de variável do ângulo da secante:

u = e^(sqrt(x)) + 1

Derivando dos dois lados:

d u = ((sqrt(x))^' e^(sqrt(x)) + 0) d x = ((x^((1)/(2)))^' e^(sqrt(x))) d x = (1)/(2) x^((1)/(2) - 1) e^(sqrt(x)) d x = (1)/(2) x^(- (1)/(2)) e^(sqrt(x)) d x

d u = (e^(sqrt(x)))/(2 sqrt(x)) d x -> 2 d u = (d x)/(sqrt(x) e^(- sqrt(x)))

Substituindo na integral:

int (1)/(sqrt(x) e^(- sqrt(x))) sec^2 (e^(sqrt(x)) + 1) d x = int sec^2 (e^(sqrt(x)) + 1) * (d x)/(sqrt(x) e^(- sqrt(x))) = int sec^2 (u) 2 d u

Passo 2

Vamos resolver a integral agora:

2 int sec^2 (u) d u = 2 tan u

Temos que fazer a subtituição reversa para resolver o exercício:

2 tan u = 2 tan (e^(sqrt(x)) + 1) + C

Fim!!!

Resposta

2 tan (e^(sqrt(x)) + 1) + C

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