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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 36

quais valores de a e b fazem f x = x 3 + a x 2 + b x ter:

a ) um máximo local em x = - 1 e um mínimo local em x = 3 ?

b ) um mínimo local em x = 4 e um ponto de inflexão quando x = 1 ?

Passo 1

Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que achar os pontos críticos e usar o teste da segunda derivada.

Primeiro fazemos:

f x = x 3 + a x 2 + b x

Derivando f ,

f ' = 3 x 2 + 2 a x + b

Ele quer um mínimo local e um máximo local em x = 3 e x = - 1 respectivamente.

Vamos substituir esse valores na derivada para achar a e b e depois conferimos na segunda derivada se de fato são pontos de mínimo e máximo.

Primeiro x = 3

3 3 2 + 2 a 3 + b = 0

27 + 6 a + b = 0

Agora x = - 1

3 - 1 2 + 2 a - 1 + b = 0

3 - 2 a + b = 0

Vamos ter o sistema:

27 + 6 a + b = 0

3 - 2 a + b = 0

Subtraindo as equações, vamos ter:

27 + 6 a + b - 3 + 2 a - b = 0

27 + 6 a - 3 + 2 a = 0

24 + 8 a = 0

8 a = - 24

a = - 3

Assim, substituindo isso na primeira equação

27 + 6 - 3 + b = 0

27 - 18 + b = 0

9 + b = 0

b = - 9

Passo 2

Aplicando o teste da segunda derivada, precimos da segunda derivada. Se ela for positiva temos um valor de mínimo, se ela for negativa temos um valor de máximo loca.

f ' = 3 x 2 - 6 x - 9

Derivando:

f ' ' = 6 x - 6

Pegando os valroes de x de 3 e - 1

f ' ' 3 = 6 3 - 6 = 12

Que é positivo, então x = 3 é ponto de mínimo

f ' ' 1 = 6 - 1 - 6 = - 12

Então x = - 1 é ponto de máximo.

Passo 3

Letra b

Primeiro mínimo local, ou seja, a derivada precisa ser 0 em x = 4

3 4 2 + 2 a 4 + b = 0

48 + 8 a + b = 0

Para o ponto de inflexão, vamos olhar a segunda derivada para ela ser 0 :

f ' ' = 6 x + 2 a

Vamos ter:

6 1 + 2 a = 0

6 + 2 a = 0

2 a = - 6

a = - 3

Vamos ter, pela primeira equação:

48 + 8 - 3 + b = 0

48 - 24 + b = 0

b = - 24

Resposta

Letra a

a = - 3

b = - 9

Letra b

a = - 3

b = - 24

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