Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 4.10 - Ex. 3
Encontre a antiderivada mais geral da função. (Verifique sua resposta diferenciando.)
Passo 1
Bom pessoal, nessa questão temos a seguinte função:
E queremos encontrar sua antiderivada, isso é, uma função que quando derivamos resulta em :
E se é uma antiderivada de nesse intervalo, então a antiderivada mais geral de é:
onde é uma constante qualquer, afinal, quando derivamos a constante obtemos zero, logo somar uma constante a não muda em nada sua derivada.
Pronto, então para achar a antiderivada, temos que achar uma função que quando derivamos encontramos .
Para polinômios, basta aplicar o processo inverso do método de derivação. Para derivar descemos o e diminuímos 1 no expoente, ficando . Então para aplicar a antiderivada primeiro somamos 1 no expoente e dividimos pelo expoente resultante:
Queremos achar as funções tais que . Para polinômios, basta aplicar o processo inverso do método de derivação. Para derivar descemos o e diminuímos 1 no expoente, ficando . Então para aplicar a antiderivada primeiro somamos 1 no expoente e dividimos pelo expoente resultante:
(Esse resultado acima é válido desde que ).
Passo 2
Vamos calcular a antiderivada da função .
Nossa função é:
Para todos os termos dessa função podemos usar a regra:
Dessa forma, a antiderivada do termo é:
Para o termo , temos:
Para o termo , temos:
E para o termo , temos:
Passo 3
Agora é só juntar tudo e não esquecer de somar a constante .
Sendo
Sua antiderivada mais geral é:
Derivando, podemos verificar o resultado:
Então é de fato a antiderivada de .