Se os gráficos de duas funções deriváveis f(x) e g(x) começam no mesmo ponto do plano cartesiano e as funções apresentam a mesma taxa de variação em todos os pontos, os gráficos serão necessariamente idênticos? Justifique sua resposta.

Passo 1

Considerando que as funções comecem em um mesmo ponto x = a e suas derivadas são iguais em todos os pontos, queremos mostrar se essas funções, necessariamente, serão iguais ou não. Para isso utilizaremos o corolário que vem como consequência direta do teorema do valor médio.

Passo 2

Esse corolário nos diz que se encontrarmos uma função g x tal que f ' x = g ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que f x = g x + C . Dessa forma, podemos fazer o seguinte

f x = g x + C  

Tomando o ponto inicial x = a que pertence a ambas funções nós teremos f a = g a   ( i ) . Assim,

f a = g a + C

C = f a - g ( a )

Substituindo ( i ) na equação acima vamos obter

C = f a - g a

C = 0

∴ f x = g x ,   n e c e s s a r i a m e n t e .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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