(a) Configure uma integral para a área da superfície obtida por girar a curva em torno de (i) o eixo x e (ii) o eixo y .

6y = tan^(-1)(x), 0 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Nosso enunciado nos pede duas coisas diferentes, para montar a integral com a curva rodando em torno de x primeiramente e depois em torno de y .

Para a rotação em torno do eixo x primeiramente, vamos usar a fórmula 7 do capítulo 8 seção 2 , que é a seguinte:

S = ∫ 2 π y   d s

Onde:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Com x variando de 0 a 2 .

E para a rotação em torno do eixo y , vamos usar a fórmula 8 do capítulo 8 seção 2 , que é a seguinte:

S = ∫ 2 π x   d s

Onde:

d s = 1 + d y d x 2 d x

Com x variando de 0 a 2 .

Passo 2

Antes de montar as integrais, temos que montar o d s e para isso precisamos achar d y d x .

d y d x = 1 x 2 + 1

Logo:

d s = 1 + 1 x 2 + 1 2   d x

Passo 3

Agora vamos montar as integrais, primeiro com a curva girando em torno x .

S = ∫ 2 π y   d s

= ∫ 0 2 2 π ( tan - 1 ⁡ ( x ) ) 1 + 1 x 2 + 1 2   d x

Agora para a curva girando em torno de y .

S = ∫ 2 π x   d s

= ∫ 0 2 2 π x 1 + 1 x 2 + 1 2   d x

Resposta

i → ∫ 0 2 2 π ( tan - 1 ⁡ ( x ) ) 1 + 1 x 2 + 1 2   d x

i i → ∫ 0 2 2 π x 1 + 1 x 2 + 1 2   d x

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