Uma bola de futebol americano tem 30 cm de comprimento e uma secção plana contendo uma costura é uma elipse cujo eixo menor tem 13 cm. Ache o volume da bola se o couro é tão duro que qualquer secção transversal é um quadrado.

Passo 1

Pelos dados do enunciado podemos interpretar que os 30 cm é o valor do eixo maior da elipse e que o eixo menor forma o quadrado dito no enunciado. Assim podemos imaginar que o prolongamento dessa secção pelo eixo maior temos a imagem desejada. Para isso utilizaremos a seguinte fórmula:

V = ∫ a b A d x

Por estarmos procurando um quadrado A = l 2 , este quadrado é formado pela elipse que vamos montar abaixo, mas antes vamos fazer algumas considerações: o eixo maior no eixo y , o menor no eixo x , o centro da elipse na origem e o lado do quadrado é a distância da parte da elipse inferior até a superior, ou seja, l = 2 x , que por consequência A = 2 x 2 = 4 x 2 .

Agora vamos montar a elipse.

2 a = 30 ,     2 b = 13

a = 15 ,     b = 13 2

x 2 13 2 2 + y 2 15 2 = 1

Isolando x 2

x 2 = 13 2 2 1 - y 2 15 2

Agora vamos determinar nosso limite de integração e aplicar todos os valores. O limite de integração é a variação de y , que no caso a elipse vai de - 15 ≤ y ≤ 15 .

V = ∫ - 15 15 4 13 2 2 1 - y 2 15 2 d y

V = 4 13 2 2 ∫ - 15 15 1 - y 2 15 2 d y

Tendo resolvido essa integral, vamos aplicar os valores do limite de integração no nosso resultado.

V = 4 13 2 2 y - 1 15 2 ∙ y 3 3 - 15 15  

V =   4 169 4 15 - 1 15 2 ∙ 15 3 3 - - 15 - 1 15 2 ∙ - 15 3 3

Como - x 3 = - x 3 então podemos fazer as seguintes mudanças

V =   169 15 - 1 15 2 ∙ 15 3 3 + 15 - 1 15 2 ∙ 15 3 3

V = 2 ∙ 169 15 - 1 15 2 ∙ 15 3 3

V = 2 ∙ 169 15 - ∙ 15 3

V = 2 ∙ 169 45 - 15 3

V = 2 ∙ 169 30 3

V = 2 ∙ 169 10

V = 3380   c m 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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