29. Prove as fórmulas dadas na Tabela 6 para as derivadas das funções que se seguem.

(a) cosh^(-1)(x)

(b) tgh^(-1)(x)

(c) cossech^(-1)(x)

(d) sech^(-1)(x)

(e) cotgh^(-1)(x)

Passo 1

Fala meus queridos.

Nessa questão queremos provar que

d d x tgh - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

Que é uma derivada dada na Tabela 6.

Para isso, vamos chamar

y = tgh - 1 ⁡ x

De forma, que teremos:

x = tgh ⁡ y

E então usamos a derivação implícita para encontrarmos a derivada de y .

Passo 2

Sendo y = tgh - 1 ⁡ x , então

x = tgh ⁡ y

Nós queremos a derivada de y então podemos usar a derivação implicia para descobrir, derivando essa função:

d d x x = d d x tgh ⁡ y

A derivada da tangente hiperbólica é a secante hiperbólica ao quadrado:

1 = sech 2 ⁡ y ⋅ d y d x

Isolando a derivada de y :

d y d x = 1 sech 2 ⁡ y

Podemos usar essa relação:

sech 2 ⁡ y = 1 - tgh 2 ⁡ y

Então:

d y d x = 1 1 - tgh 2 ⁡ y

Como no começo definimos que x = tgh ⁡ y

podemos reescrever a equaçõ como sendo:

d y d x = 1 1 - x 2

Como y = tgh - 1 ⁡ x , nós descobrimos que:

d d x tgh - 1 ⁡ x = 1 1 - x 2

Resposta

d d x tgh - 1 ��� x = 1 1 - x 2

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