9) ∫ x + 3 x 2 - x d x  

Passo 1

Quando tivermos um polinômio no denominador, é interessante usar frações parciais!

I = ∫ x + 3 x 2 - x d x

O nome pode ser complicado, mas a ideia é simples! Vamos quebrar a fração em duas partes:

x + 3 x 2 - x =   x + 3 x ( x - 1 ) = A x + B x - 1       ( * )

Sacou?!

Passo 2

Agora vamos mexer com o lado direito!

Deixando os denominadores iguais:

A x + B x - 1 = A x ⋅ x - 1 x - 1 + B x - 1 ⋅ x x

Fazendo as distributivas:

A x - A + B x x ⋅ ( x - 1 ) = A + B x - A x ⋅ ( x - 1 )

Voltando para ( * ) ,

x + 3 x ⋅ ( x - 1 ) = A + B x - A x ⋅ ( x - 1 )

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

  1 ⋅ x + 3 = A + B x - A

A + B = 1     ( i ) - A = 3                 ( i i )

De ( i ) :

A = - 3

Substituindo em ( i i ) :

- 3 + B = 1 → B = 4

Logo,

B = 4   e   A = - 3

Passo 3

Agora vamos resolver a integral!

Nossa integral era assim:

I = ∫ x + 3 x ⋅ ( x - 1 ) d x

E vai ficar assim:

I = ∫ - 3 x d x + ∫ 4 x - 1 d x =   - 3 ⋅ ∫ 1 x d x + 4 ⋅ ∫ 1 x - 1 d x  

Não esquece: ∫ 1 x d x = ln ⁡ x + c

I =   - 3 ⋅ ln ⁡ x + 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c

Resposta

- 3 ⋅ ln ⁡ x + 4 ⋅ ln ⁡ x - 1 + c

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