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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 9

9) int (x + 3)/(x^2 - x) d x

Passo 1

Quando tivermos um polinômio no denominador, é interessante usar frações parciais!

I = int (x + 3)/(x^2 - x) d x

O nome pode ser complicado, mas a ideia é simples! Vamos quebrar a fração em duas partes:

(x + 3)/(x^2 - x) = (x + 3)/(x ( x - 1 )) = (A)/(x) + (B)/(x - 1) ( * )

Sacou?!

Passo 2

Agora vamos mexer com o lado direito!

Deixando os denominadores iguais:

(A)/(x) + (B)/(x - 1) = (A)/(x) * (x - 1)/(x - 1) + (B)/(x - 1) * (x)/(x)

Fazendo as distributivas:

(A x - A + B x)/(x * ( x - 1 )) = ((A + B) x - A)/(x * ( x - 1 ))

Voltando para ( * ) ,

(x + 3)/(x * ( x - 1 )) = ((A + B) x - A)/(x * ( x - 1 ))

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

1 * x + 3 = (A + B) x - A

{[[A + B = 1 ( i )],[- A = 3 ( i i )]])

De ( i ) :

A = - 3

Substituindo em ( i i ) :

- 3 + B = 1 -> B = 4

Logo,

B = 4 e A = - 3

Passo 3

Agora vamos resolver a integral!

Nossa integral era assim:

I = int (x + 3)/(x * ( x - 1 )) d x

E vai ficar assim:

I = int (- 3)/(x) d x + int (4)/(x - 1) d x = - 3 * int (1)/(x) d x + 4 * int (1)/(x - 1) d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

I = - 3 * ln |x| + 4 * ln |x - 1| + c

Resposta

- 3 * ln |x| + 4 * ln |x - 1| + c

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