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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.Revisão - Ex. 19

Nos exercícios de 1 a 62, calcule a integral indefinida.

19 .   ∫ x 4 + 1 x 4 - 1 d x  

Passo 1

Para começar, vamos manipular a função de modo que fique mais claro o método que usaremos para integrar.

x 4 + 1 x 4 - 1 = 2 x 4 - 1 + 1

Podemos provar isso de uma forma bem simples:

2 x 4 - 1 + 1 = 2 + 1 ⋅ ( x 4 - 1 ) x 4 - 1 = 2 + x 4 - 1 x 4 - 1 = x 4 + 1 x 4 - 1

Assim nossa integral fica

∫ x 4 + 1 x 4 - 1 d x = ∫ 1 + 2 x 4 + 1 d x

Passo 2

Continuando a integração:

∫ 1 + 2 x 4 + 1 d x = ∫ 1   d x + ∫ 2 x 4 + 1 d x

= x + ∫ 2 x 4 + 1   d x

Para resolver a segunda integral precisamos abri-la em frações parciais.

Passo 3

Abrindo o termo dentro da integral:

2 x 4 + 1 = 2 ( x 2 + 1 ) ( x 2 - 1 ) = A ( x 2 + 1 ) + B ( x 2 - 1 )  

A ( x 2 + 1 ) + B ( x 2 - 1 ) = A ( x 2 - 1 ) + B ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 1 ) ( x 2 - 1 )

= A x 2 - A + B x 2 + B ( x 2 + 1 ) ( x 2 - 1 ) = A + B x 2 + B - A ( x 2 + 1 ) ( x 2 - 1 )

A + B = 0

B - A = 2

Logo,

A = - 1     e     B = 1

Então a gente fica com:

2 x 4 + 1 = - 1 ( x 2 + 1 ) + 1 ( x 2 - 1 )

Passo 4

Então a integral que tínhamos fica da forma:

∫ 2 x 4 + 1   d x = - ∫ 1 ( x 2 + 1 ) + ∫ 1 ( x 2 - 1 )

Para resolver a primeira integral basta lembrar que:

∫ d s s 2 + 1 = a r c t g s + c  

Então:

- ∫ 1 ( x 2 + 1 ) = - a r c t g x + c

Agora para resolver a segunda integral precisamos expandir em frações parciais mais uma vez.

1 ( x 2 - 1 ) = A ( x - 1 ) + B ( x + 1 )

A ( x - 1 ) + B ( x + 1 ) = A ( x + 1 ) + B ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 1 ) = ( A + B ) x + A - B x + 1 x - 1

A + B = 0

A - B = 1

Logo,

A = 1 2     e     B = - 1 2

Então a gente fica com:

1 ( x 2 - 1 ) = 1 2 ( x - 1 ) - 1 2 ( x + 1 )

Passo 5

Voltando a integral do passo 4 temos:

∫ 1 ( x 2 - 1 ) = 1 2 ∫ 1 ( x - 1 ) - 1 2 ∫ 1 ( x + 1 )

= 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 2 ln ⁡ ( x + 1 )

Passo 6

Agora somando o que encontramos iremos achar o resultado da integral

∫ 2 x 4 + 1   d x = 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 2 ln ⁡ ( x + 1 ) - a r c t g x + c

Assim:

∫ x 4 + 1 x 4 - 1 d x = x + ∫ 2 x 4 + 1   d x = x + 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 2 ln ⁡ ( x + 1 ) - a r c t g x + c

Resposta

∫ x 4 + 1 x 4 - 1 d x = x + 1 2 ln ⁡ x - 1 - 1 2 ln ⁡ ( x + 1 ) - a r c t g x + c

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