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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.5 - Ex. 10

10) int (x^2 + x + 1)/(x^2 - x) d x

Passo 1

I = int (x^2 + x + 1)/(x^2 - x) d x

Primeiro vamos tentar deixar o numerador parecido com o denominador com o intuito que fazer alguma simplificação.

(x^2 + x + 1)/(x^2 - x) = (( x^2 - x ) + x + x + 1)/(x^2 - x)

Agora vamos quebrar em duas frações:

(( x^2 - x ) + x + x + 1)/(x^2 - x) = 1 + (2 x + 1)/(x^2 - x)

Passo 2

Nossa integral era assim:

I = int (x^2 + x + 1)/(x^2 - x) d x

E vai ficar assim:

I = int (1 + (2 x + 1)/(x^2 - x)) d x = int d x + int (2 x + 1)/(x^2 - x) d x

Resolvendo a primeira parcela:

I_1 = int d x = x + c_1

Essa segunda é um pouco cascuda, então vamos com calma!

I_2 = int (2 x + 1)/(x^2 - x) d x

Separando em duas frações, temos:

(2 x + 1)/(x ( x - 1 )) = (A)/(x) + (B)/(x - 1) ( * )

Agora vamos mexer com o lado direito!

Deixando os denominadores iguais:

(A)/(x) + (B)/(x - 1) = (A)/(x) * (x - 1)/(x - 1) + (B)/(x - 1) * (x)/(x)

Fazendo as distributivas:

(A x - A + B x)/(x * ( x - 1 )) = ((A + B) x - A)/(x * ( x - 1 ))

Voltando para ( * ) ,

(2 x + 1)/(x * ( x - 1 )) = ((A + B) x - A)/(x * ( x - 1 ))

Agora é só comparar os coeficientes do numerador:

2 * x + 1 = (A + B) x - A

{[[A + B = 2 ( i )],[- A = 1 ( i i )]])

De ( i ) :

A = - 1

Substituindo em ( i i ) :

- 1 + B = 2 -> B = 3

Logo,

B = 3 e A = - 1

Passo 3

Vamos resolver a I_2

Antes era assim:

I_2 = int (2 x + 1)/(x^2 - x) d x

E vai ficar assim:

I_2 = int ((- 1)/(x) + (3)/(x - 1)) d x = - 1 * int (1)/(x) d x + 3 * int (1)/(x - 1) d x

Não esquece: int (1)/(x) d x = ln |x| + c

I_2 = - 1 * ln |x| + 3 * ln |x - 1| + c_2

Logo,

I = I_1 + I_2 = x - 1 * ln |x| + 3 * ln |x - 1| + c

Resposta

x - ln |x| + 3 * ln |x - 1| + c

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