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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.2 - Ex. 8g

8. Calcule

g ) int (x - 1)/(4 + x^2) d x

Passo 1

Antes de tudo, vamos separar essa integral em duas partes

int (x - 1)/(4 + x^2) d x = int ((x)/(4 + x^2) - (1)/(4 + x^2)) d x = int (x)/(4 + x^2) d x - int (1)/(4 + x^2) d x

Passo 2

Começaremos resolvendo a primeira integral

int (x)/(4 + x^2) d x = int (x)/(4 + x^2) d x

Podemos ver que se derivarmos o denominador, teremos algo parecido com o numerador, faremos então

u = 4 + x^2 => d u = 2 x d x => x d x = (d u)/(2)

Substituindo na integral,

int (x)/(4 + x^2) d x = int (1)/(u) (d u)/(2) = (1)/(2) int (1)/(u) d u

Lembrando que int (1)/(x) d x = l n |x| + k

(1)/(2) int (1)/(u) d u = (1)/(2) ln |u| + k = (1)/(2) ln |4 + x^2| + k

Como 4 + x^2 >= 0 , podemos tirar o módulo

(1)/(2) ln |4 + x^2| + k = (1)/(2) ln ( 4 + x^2 ) + k

Passo 3

Para a outra integral, podemos ver que ela é do tipo int (1)/(a^2 + x^2) d x = (1)/(a) tan^(- 1) ((x)/(a)) + k

int (1)/(4 + x^2) d x = int (1)/(( 2 )^2 + x^2) d x = (1)/(2) tan^(- 1) ((x)/(2)) + k

Passo 4

Substituindo os valores encontrados

int (x)/(4 + x^2) d x - int (1)/(1 + x^2) d x = (1)/(2) ln ( 4 + x^2 ) - (1)/(2) tan^(- 1) ((x)/(2)) + k

Resposta

Portanto,

int (x - 1)/(4 + x^2) d x = (1)/(2) ln ( 4 + x^2 ) - (1)/(2) tan^(- 1) ((x)/(2)) + k

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