Determinar o polinômio de Taylor de ordem n , no ponto c dado, das seguintes funções:

f(x) = 1 / (1 + x); c = 0 e 1; n = 4

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem n no ponto c é obtido assim:

P n x = f c + f ' c x - c + f ' ' c 2 ! x - c 2 + … + f n c n ! x - c n

A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Não esquece da regra da cadeia! Vamos até a derivada de grau 4 , já que queremos o Taylor dessa ordem.

f x = 1 1 + x

f ' x = - 1 1 + x 2

f 2 ' x 2 ! = 1 2 × 2 1 + x 3

f 3 ' x 3 ! = 1 6 × - 6 1 + x 4

f 4 ' x 4 ! = 1 24 × 24 1 + x 5

Então o polinômio de Taylor vai ser:

P 4 x = 1 1 + c - 1 1 + c 2 x - c + 1 1 + c 3 x - c 2 - 1 1 + c 4 x - c 3 + 1 1 + c 5 x - c 4

Passo 3

No ponto c = 0 :

P 4 x = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4

Passo 4

No ponto c = 1 :

P 4 x = 1 2 - 1 2 2 x - 1 + 1 2 3 x - 1 2 - 1 2 4 x - 1 3 + 1 2 4 x - 1 4

Arrumando,

P 4 x = 1 2 - x - 1 4 + x - 1 2 8 - x - 1 3 16 + x - 1 4 16

Resposta

Em c = 0 :

P 4 x = 1 - x + x 2 - x 3 + x 4

Em c = 1 :

P 4 x = 1 2 - x - 1 4 + x - 1 2 8 - x - 1 3 16 + x - 1 4 16

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