Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.16 - Ex. 2a

Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o resto na forma de Lagrange, das seguintes funções:

y = cosh ⁡ x ,   n = 4 ,   c = 0

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem n no ponto c é obtido assim:

P n x = f c + f ' c x - c + f ' ' c 2 ! x - c 2 + … + f n c n ! x - c n

Além disso, o resto na forma de Lagrange, como a gente viu, fica assim:

R n x = f n + 1 z n + 1 ! x - c n + 1

A parte mais trabalhosa é essa de ter que calcular todas as derivadas, mas o aluno Responde Aí não tem medo de conta, então bora lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular todas as derivadas: não vou explicar passo a passo, mas com tudo que aprendemos até aqui vai ficar bem mastigadinho, fica tranquilo. Em vez do y que ele deu no enunciado, como essa parada é função de x , vamos manter o f ( x ) , ok? Não esquece da regra da cadeia! Vamos até a derivada de grau 4 , já que queremos o Taylor dessa ordem.

f x = cosh ⁡ x

f ' x = s e n h ( x )

f 2 ' x 2 ! = 1 2 × cosh ⁡ x

f 3 ' x 3 ! = 1 6 × s e n h ( x )

f 4 ' x 4 ! = 1 24 × cosh ⁡ x

Então o polinômio de Taylor vai ser:

P 4 x = cosh ⁡ c + s e n h c x - c + cosh ⁡ x 2 x - c 2 + s e n h x 6 x - c 3 + cosh ⁡ x 24 x - c 4

Passo 3

No ponto c = 0 :

P 4 x = cosh ⁡ 0 + s e n h 0 x - 0 + cosh ⁡ 0 2 x - 0 2 + s e n h 0 6 x - 0 3 + cosh ⁡ 0 24 x - 0 4

Em c = 0 , cosh ⁡ 0 = 1 e s e n h 0 = 0 , então:

P 4 x = 1 + x 2 2 + x 4 24

Passo 4

E agora para o resto, falta só a gente achar a derivada de ordem 5 . Já temos a de ordem 4 :

f 4 ' x = cosh ⁡ x

Derivando,

f 5 ' ( x ) = s e n h ( x )

Então o resto vai ser:

R 4 x = f 5 ' z 4 + 1 ! x - 0 5

Que fica:

R 4 x = s e n h z 120 x 5

Resposta

Em c = 0 :

P 4 x = 1 + x 2 2 + x 4 24

R 4 x = s e n h x 120 x 5

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Determine o polinômio de Taylor de ordem 5, de g x = a r ct gx em volta de x = 0 :
∫ 0 1 s e nx 2d x
Seja f x = 1 + x α , onde α ≠ 0 é um real dado. Determine o polinômio de Taylor, de ordem n , de f em volta de x 0 = 0 e dê a expressão do erro em termos da derivada de ordem n + 1 .
Determine o polinômio de Taylor, de ordem 11, de g x = a r ct gx em volta de x 0 = 0 :
Seja f x = 1 1 + x 2 a)Mostre que P x = 1 - x 2 + x 4 - x 6 + x 8 - x 10 é o polinômio de Taylor, de ordem 10 de f em volta de x 0 = 0 b)c)