Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.8 - Ex. 2
Um habitante comum do intestino humano é a bactéria Escherichia coli, em homenagem ao pediatra alemão Theodor Escherich, que o identificou em 1885. Uma célula dessa bactéria em meio caldo de nutrientes se divide em duas células a cada 20 minutos. A população inicial de uma cultura é de 50 células.
(a) Encontre a taxa de crescimento relativa.
(b) Encontre uma expressão para o número de células após t horas.
(c) Encontre o número de células após 6 horas.
(d) Encontre a taxa de crescimento após 6 horas.
(e) Quando a população atingirá um milhão de células?
Passo 1
Para esse problema, podemos elaborar uma função que o descreve. Chamamos da população de bactérias em função do tempo em horas e , sendo a taxa de crescimento relativa, temos:
Ou também,
Em que as soluções exponenciais sempre são do tipo: .
Passo 2
Com o valor inicial de 50 células, podemos dizer que:
Sabendo que a cada 20 min, a população dobra, ou seja, o que antes era 50 vira 100 nos primeiros 20 min que é de hora, logo
Elevando os membros ao cubo, temos
Aplicando o temos,
Logo a taxa de crescimento é:
Passo 3
Para encontrar a expressão para o numero de células é só substituir os dados obtidos:
Logo,
Passo 4
Para encontrar o numero de células após horas é só fazer o calculo de .
Passo 5
Para encontrar a taxa de crescimento após 6 horas, precisamos derivar a função e calcular para .
Passo 6
A população chega a um milhão de células , logo
Aplicando o logaritmo dos dois lados:
Prontinho!!
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)