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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.1 - Ex. 54

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f   no intervalo dado.

f x = x x 2 - x + 1 ,     [ 0,3 ]

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... Queremos encontrar os valores de máximo e mínimo absoluto da seguinte função e seu intervalo dado, respectivamente:

f x = x x 2 - x + 1 ,     [ 0,3 ]

Para isso, primeiramente necessitamos calcular a derivada de f para encontrar os números críticos.

Depois, a gente deve igualar a derivada a zero para encontrarmos os pontos críticos.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Vamos usar a regra do Quociente pra derivar.

Essa regrinha nos diz o seguinte:

Sejam duas funções u e v deriváveis. A derivada do quociente u v ' é dada por:

u v ' = v u ' - u v ' v 2

Assim, aplicando na nossa função, temos:

f ' x =   1 x 2 - x + 1 - x ( 2 x - 1 ) x 2 - x + 1 2 ∴

f ' x =   x 2 - x + 1 - 2 x 2 + x x 2 - x + 1 2 ∴

f ' x =   - x 2 + 1 x 2 - x + 1 2

Passo 3

Igualando a derivada a zero, obtemos:

- x 2 + 1 x 2 - x + 1 2 ∴

- x 2 + 1 = 0 ∴  

x = ± 1

Só que o nosso intervalo é 0,3 , então vamos jogar fora a solução x = - 1 . O nosso ponto crítico então é

x = 1

Vamos testar o valor desse ponto crítico e os do intervalo...

Passo 4

f 0 = 0 0 2 - 0 + 1 = 0

f 1 = 1 1 2 - 1 + 1 = 1

f 3 = 3 3 2 - 3 + 1 = 3 7 = 0,428571

Daí, concluímos que...

Ponto máximo absoluto: ( 1,1 )

Ponto mínimo absoluto: ( 0,0 )

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

Ponto máximo absoluto: ( 1,1 )

Ponto mínimo absoluto: ( 0,0 )

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