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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.5 - Ex. 56

Se f é homogênea de grau n , mostre que

x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 f ∂ x ∂ y + y 2 ∂ 2 f ∂ y 2 = n ( n - 1 ) f ( x , y )

Passo 1

É o seguinte, pessoal... A questão nos dá uma função f e pede para mostrarmos que se ela for umia função homogênea de grau n , ela respeitará a equação

x 2 ∂ 2 f ∂ x 2 + 2 x y ∂ 2 f ∂ x ∂ y + y 2 ∂ 2 f ∂ y 2 = n ( n - 1 ) f ( x , y )

Temos que ter em mente que uma função homogênea satisfaz a seguinte igualdade

f t x , t y = t n f ( x , y )

Nós partiremos disso para mostrar que f satisfaz a equação dada no enunciado.

Como faremos isso? Teremos que calcular as seguintes derivadas parciais:

∂ 2 f ∂ x 2 ,   ∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ 2 f ∂ y 2  

Bora lá então...

Passo 2

Vamos derivar parcialmente os dois lados, duas vezes, em relação a t , olhando primeiramente para o lado direito

∂ ∂ t t n f x , y = n t n - 1 f x , y

Derivando novamente com relação a t :

∂ ∂ t n t n - 1 f x , y = n ( n - 1 ) t n - 2 f x , y

Então temos

∂ 2 ∂ t 2 t n f ( x , y ) = n ( n - 1 ) t n - 2 f x , y

Passo 3

Olhando agora para o outro lado da definição da função homogênea, calcularemos a derivada

∂ ∂ t f t x , t y

Vamos usar a substituição u = t x e v = t y

∂ ∂ t f t x , t y = ∂ ∂ t f u , v

Aqui vamos usar a regra da cadeia, visto que u e v dependem de t .

∂ ∂ t f t x , t y = ∂ f ∂ u ∂ u ∂ t + ∂ f ∂ v ∂ v ∂ t

Lembrando que u = t x e v = t y

∂ ∂ t f t x , t y = ∂ f ∂ u x + ∂ f ∂ v y

Derivando novamente com relação a t :

∂ ∂ t ∂ ∂ t f t x , t y = ∂ ∂ t ∂ f ∂ u x + ∂ f ∂ v y

Aqui aplicamos novamente a regra da cadeia para várias variáveis:

∂ 2 ∂ t 2 f t x , t y = ∂ 2 f ∂ u 2 ∂ u ∂ t + ∂ 2 f ∂ v ∂ u ∂ v ∂ t x + ∂ 2 f ∂ u ∂ v ∂ u ∂ t + ∂ 2 f ∂ v 2 ∂ v ∂ t y

Calculando as derivadas de u   e   v com relação a t , temos:

∂ 2 ∂ t 2 f t x , t y = ∂ 2 f ∂ u 2 x + ∂ 2 f ∂ v ∂ u y x + ∂ 2 f ∂ u ∂ v x + ∂ 2 f ∂ v 2 y y

∂ 2 ∂ t 2 f t x , t y = ∂ 2 f ∂ u 2 x 2 + ∂ 2 f ∂ v ∂ u x y + ∂ 2 f ∂ u ∂ v x y + ∂ 2 f ∂ v 2 y 2

Note que os dois termos do meio são iguais, ou seja,

∂ 2 ∂ t 2 f t x , t y = ∂ 2 f ∂ u 2 x 2 + ∂ 2 f ∂ u ∂ v 2 x y + ∂ 2 f ∂ v 2 y 2

Substituindo u = t x e v = t y , temos

∂ 2 ∂ t 2 f t x , t y = ∂ 2 f ∂ ( t x ) 2 x 2 + ∂ 2 f ∂ ( t x ) ∂ ( t y ) 2 x y + ∂ 2 f ∂ ( t y ) 2 y 2

Passo 4

Voltando a igualdade

f t x , t y = t n f ( x , y )

∂ 2 ∂ t 2 f t x , t y = ∂ 2 ∂ t 2 t n f ( x , y )

∂ 2 f ∂ ( t x ) 2 x 2 + ∂ 2 f ∂ ( t x ) ∂ ( t y ) 2 x y + ∂ 2 f ∂ ( t y ) 2 y 2 = n ( n - 1 ) t n - 2 f x , y

Como a igualdade vale para todos os valores de t , vale também para t = 1 , então

∂ 2 f ∂ x 2 x 2 + ∂ 2 f ∂ x ∂ y 2 x y + ∂ 2 f ∂ y 2 y 2 = n ( n - 1 ) f x , y

Resposta

Demonstração

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