38. Para as funções de uma variável, é impossível uma função continua ter dois pontos de máximo local e nenhum ponto de mínimo local. Para funções de duas variáveis, esse caso existe. Mostre que a função f x , y = 3 x e y - x 3 - e 3 y Só tem dois pontos críticos, ambos de máximo local. Em seguida, utilize um computador para desenhar o gráfico com uma escolha cuidadosa de domínio e de ponto de vista para ver como isso é possível.

Como D 1,00 e f x x 1,00 , temos um ponto de máximo local.

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 40

38. Para as funções de uma variável, é impossível uma função continua ter dois pontos de máximo local e nenhum ponto de mínimo local. Para funções de duas variáveis, esse caso existe. Mostre que a função

Só tem dois pontos críticos, ambos de máximo local. Em seguida, utilize um computador para desenhar o gráfico com uma escolha cuidadosa de domínio e de ponto de vista para ver como isso é possível.

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade.

Dada a função:

Queremos mostrar que por essa função ser de duas variáveis, podemos ter pontos de críticos de máximo local.

Então precisamos provar que a função só tem dois pontos críticos, a ambos são pontos de máximo.

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

Podem ocorrer três casos:

então é um mínimo local.
então é um máximo local.
então não é nem mínimo e nem máximo local.

Então iremos provar aqui a letra b).

Passo 2

A função que ele nos deu foi a seguinte:

Para acharmos os pontos críticos, vamos fazer e . Então, vamos lá!

Derivando em relação a :

Logo,

Agora em relação a :

Assim,

Agora que já achamos e podemos igualar a . Beleza? Então vamos lá.

Para o :

E para o :

Passo 3

Da primeira equação, temos o seguinte:

Então temos o seguinte:

Substituindo na segunda:

Assim,

Logo,

Portanto,

Agora vamos ver se esses pontos realmente satisfazem.

Substituindo na primeira equação:

Então,

Opa! essa já deu ruim, pois nenhum atende a essa condição. Agora vamos ver para :

Na primeira:

Na segunda:

Dessa forma,

Isso quer dizer que só teremos um ponto crítico na nossa função, e ele será o seguinte:

Agora vamos aplicar o teste da segunda derivada para analisar os pontos críticos.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem para achar para usar na equação .

Usando do Passo :

Logo,

Para o :

Usando do Passo :

Logo,

Por fim, vamos ver como fica o :

Usando o que achamos no Passo :

Assim,

Passo 5

Para o ponto :

Para o :

Logo,

Para o :

Fazendo as contas:

Por fim, para :

Substituindo tudo em :

Portanto,

Como e , temos um ponto de máximo local.

Passo 6

Fazendo um gráfico com o auxilio do GeoGebra, temos:

Como é possível verificar os dois pontos de máximo. 😉

Resposta

Como e , temos um ponto de máximo local.

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