Enunciado

38. Para as funções de uma variável, é impossível uma função continua ter dois pontos de máximo local e nenhum ponto de mínimo local. Para funções de duas variáveis, esse caso existe. Mostre que a função

f x , y = 3 x e y - x 3 - e 3 y

Só tem dois pontos críticos, ambos de máximo local. Em seguida, utilize um computador para desenhar o gráfico com uma escolha cuidadosa de domínio e de ponto de vista para ver como isso é possível.

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver essa atividade.

Dada a função:

f x , y = 3 x e y - x 3 - e 3 y

Queremos mostrar que por essa função ser de duas variáveis, podemos ter 2 pontos de críticos de máximo local.

Então precisamos provar que a função f ( x , y ) só tem dois pontos críticos, a ambos são pontos de máximo.

Já temos nossos pontos de interesse, mas falta dizer se são máximos, mínimos ou pontos de sela, para isso a gente precisa da segunda derivada, vamos usar

D x , y = f x x ⋅ f x y - f x y 2

Podem ocorrer três casos:

  1. D ( a , b ) > 0   e   f x x a , b > 0 então f ( a , b ) é um mínimo local.
  2. D a , b > 0   e   f x x a , b < 0 então f ( a , b ) é um máximo local.
  3. D a , b < 0   então f ( a , b ) não é nem mínimo e nem máximo local.

Então iremos provar aqui a letra b).

Passo 2

A função que ele nos deu foi a seguinte:

f x , y = 3 x e y - x 3 - e 3 y

Para acharmos os pontos críticos, vamos fazer f x = 0 e f y = 0 . Então, vamos lá!

Derivando em relação a x :

f x = 3 e y - 3 x 2 - 0

Logo,

f x = 3 e y - 3 x 2

Agora em relação a y :

f y = 3 x e y - 0 - 3 e 3 y

Assim,

f y = 3 x e y - 3 e 3 y

Agora que já achamos f x e f y podemos igualar a 0 . Beleza? Então vamos lá.

Para o f x :

3 e y - 3 x 2 = 0

E para o f y :

3 x e y - 3 e 3 y = 0

Passo 3

Da primeira equação, temos o seguinte:

3 e y - 3 x 2 = 0

Então temos o seguinte:

e y = x 2

Substituindo na segunda:

3 x x 2 - 3 x 6 = 0

Assim,

3 x 3 = 3 x 6

Logo,

x = 0 ou x 3 = 1

Portanto,

x = 0 ou x = 1

Agora vamos ver se esses pontos realmente satisfazem.

Substituindo x = 0 na primeira equação:

3 e y - 3 × 0 2 = 0

Então,

3 e y = 0

Opa! essa já deu ruim, pois nenhum y atende a essa condição. Agora vamos ver para x = 1 :

Na primeira:

3 e y - 3 = 0

e y = 1

Na segunda:

3 e y - 3 e 3 y = 0

e 2 y = 1

Dessa forma,

y = 0

Isso quer dizer que só teremos um ponto crítico na nossa função, e ele será o seguinte:

1,0

Agora vamos aplicar o teste da segunda derivada para analisar os pontos críticos.

D a , b = f x x a , b f y y a , b - f x y a , b 2     ( i )

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem para achar para usar na equação ( i ) .

f x x x , y = ∂ ∂ x f x

Usando f x do Passo 1 :

f x x x , y = ∂ ∂ x 3 e y - 3 x 2

Logo,

f x x x , y = - 6 x

Para o f y y :

f y y x , y = ∂ ∂ y f y

Usando f y do Passo 1 :

f y y x , y = ∂ ∂ y 3 x e y - 3 e 3 y

Logo,

f y y = 3 e y - 9 e 3 y

Por fim, vamos ver como fica o f x y :

f x y x , y = ∂ ∂ y f x

Usando o que achamos no Passo 1 :

f x y x , y = ∂ ∂ y 3 e y - 3 x 2

Assim,

f x y x , y = 3 e y

Passo 5

Para o ponto ( 1,0 ) :

D 1,0 = f x x 1,0 f y y 1,0 - f x y 1,0 2

Para o f x x :

f x x 1,0 = - 6 ⋅ 1

Logo,

f x x 1,0 = - 6

Para o f y y :

f y y 1,0 = 3 e 0 - 9 e 3 ⋅ 0

Fazendo as contas:

f y y 1,0 = - 6

Por fim, para f x y :

f x y 1,0 = 3 e 0

f x y 1,0 = 3

Substituindo tudo em D ( 1,0 ) :

D 1,0 = ( - 6 ⋅ - 6 ) - 3 2

Portanto,

D 1,0 = 27 > 0

Como D 1,0 > 0 e f x x 1,0 < 0 , temos um ponto de máximo local.

Passo 6

Fazendo um gráfico com o auxilio do GeoGebra, temos:

Como é possível verificar os dois pontos de máximo. 😉

Resposta

Como D 1,0 > 0 e f x x 1,0 < 0 , temos um ponto de máximo local.

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